1、13.3函数的最大(小)值与导数,学习目标,1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系2会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值,课堂互动讲练,知能优化训练,课前自主学案,1.3.3,课前自主学案,求函数f(x)的极值首先解方程f(x)0.当f(x0)0时，(1)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是函数的_；(2)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是函数的_,f(x0)0,f(x0)0,极大值,f(x0)0,f(x0)0,极小值,函数f(x)在闭区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得_和_
2、，并且函数的最值必在_或_处取得,最大值,最小值,极值点,端点,在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，在a，b上一定存在最值和极值吗？提示：一定有最值，但不一定有极值如果函数f(x)在a，b上是单调的，此时f(x)在a，b上无极值；如果f(x)在a，b上不是单调函数，则f(x)在a，b上有极值,课堂互动讲练,求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,【思路点拨】要求区间a，b上函数的最值，只需求出函数在(a，b)内的
3、极值，最后与端点处函数值比较大小即可,【解】(1)f(x)6x26x12，令f(x)0，则6x26x120，即x2x20，解得x11，x22.f(1)12，f(2)15，f(2)1，f(3)4，函数f(x)2x33x212x5在x2,3上的最大值为12，最小值为15.,【思维总结】求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论,变式训练1求下列各函数的最值(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)exex，x0
4、，a，a为正常数解：(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1或x0或x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采用待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的解析式，进而可以研究函数的其他性质,若f(x)ax36ax2b(a0)，x1,2的最大值为3，最小值是29，求a、b的值【思路点拨】可先对f(x)求导，确定f(x)在1,2上的单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的值【解】f(x)3ax212ax3a(x24x)令f(x)0，得x0，x4，x1,2，x0.a0，f(x)，f(x)随x变
5、化情况如下表：,当x0时，f(x)取最大值，b3.又f(2)8a24a316a3，f(1)7a3f(2)，当x2时，f(x)取最小值，16a329，a2，a2，b3.,【思维总结】本题属于逆向探究题型解这类问题的基本方法是待定系数法从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，最终落脚在比较极值与端点值大小上，从而解决问题,互动探究2若将题中的最大值改为极大值，其他条件不变，求a，b的值解：依题意，显然a0.f(x)3ax212ax3ax(x4)，x1,2，令f(x)0，解得x10，x24(舍去)因a0，当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出，当x0时，f(x)取得极大值，所
6、以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，故f(1)f(2)，所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，a2.,不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解,【思路点拨】把mf(x)恒成立，转化为求f(x)在1,2上的最大值，只要m大于此最大值即可,【思维总结】有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地，f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.,互
7、动探究3本例中，把“f(x)m”改为“f(x)m”，求实数m的取值范围,方法技巧,2求实际问题的最大值(最小值)的方法：在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较,失误防范,1函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较2函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值,3极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值,知能优化训练,本部分内容讲解结束,点此进入课件目录,按ESC键退出全屏播放,谢谢使用,
