1、33.2极大值与极小值,学习目标1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次),课堂互动讲练,知能优化训练,33.2,课前自主学案,课前自主学案,1，),(，2)，(3，),(2,3),1极值点与极值,(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：f(a)_f(x0)(f(x0)表示f(x)在xa附近的函数值)；f(a)_；在xa附近的左侧f(x)_0，函数单调_；在xa附近的右侧f(x)_0，函数单调_,0,递减,递增,(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：f(b)
2、_f(x0)(f(x0)表示f(x)在xb附近的函数值)；f(b)_；在xb附近的左侧，f(x)_0，函数单调_；在xb附近的右侧，f(x)_0，函数单调_,0,递增,2，即a3时，f(x)在(a1，a1)内为增函数，无极值；(2)当0a12，即1a3时，2a14，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6；(3)当a10，即0a1时，1a12，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2.,【名师点评】(1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f(x)0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然(2)极值情况较复杂时，注意分类讨论自我挑战设函数f(x)x33axb(
3、a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)在单调区间与极值点,确定函数极值存在的条件，可以去寻求需要的条件研究的函数多为三次函数，三次函数求导后，变为二次函数，因而转化为研究二次函数的有关知识,设x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由【思路点拨】利用极值点与导数的关系，建立由极值点x1与x2所确定的相关等式，运用待定系数法确定a，b的值，再利用极值的定义进行判断,【名师点评】本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合
4、理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向，在求导之后，不会应用在极值点处的导数为0这一隐含条件，是解决问题的最大障碍,与函数的单调性、图象等相结合，解决有关方程的根或图象交点等问题 (本题满分14分)设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由,【思路点拨】(1)依据求函数极值的方法求解(2)根据极值大小分析函数图象情况，据此可求出实数a的值,【规范解答】(1)令f(x)3x230，得x11，x21.又因为当x(，1)时，f(x
5、)0；当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，10分,所以a20，a2，如图(1)当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.如图(2)综上，当a2或a2时方程恰好有两个实数根.14分,【名师点评】(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标,(
6、2)事实上利用导数不仅能判断函数的单调性，研究函数的极值和最值情况，还能在此基础上画出函数的大致图象，得到函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的条件，从而为研究方程的根提供方便所以在解决方程的根的问题时，要善于运用导数的方法进行求解,1函数的极值与其导数的关系(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的定义域内可能有多个极大值和极小值，且极大值不一定比极小值大(2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号；可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为0.,(3)函数的不可导点也可能是极值点由以上可知判定函数f(x)的极值点，应对f(x)的定义域内的两类“可疑点”都作出判定：判定定义域内所有的导数为零的点；判定定义域内所有的不可导的点,2求解函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，以及f(x)在不可导点左右的符号，来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况,知能优化训练,本部分内容讲解结束,点此进入课件目录,按ESC键退出全屏播放,谢谢使用,
