1、2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程,一、双曲线的定义,差的绝对值,小于,定,点F1,F2,两焦点间,思考:在双曲线的定义中,若去掉“绝对值”,其轨迹还是双曲线吗?提示:不是.其轨迹是双曲线的一支.,二、双曲线的标准方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2+b2,判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)在双曲线标准方程 中,规定a0,b0时ab.()(2)双曲线标准方程中a,b,c的关系是a2+b2=c2.()(3)双曲线 的焦点在y轴上.(),提示:(1)错误.在标准方程中,a=b时,也表示双曲线.(2)正确.双曲线标准方程中,a,b,c满足a2+b2=c2.(3
2、)错误.根据标准方程的特点,双曲线 的焦点应在x轴上.答案:(1)(2)(3),【知识点拨】1.对双曲线定义的两点说明(1)距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,且点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则点P在右支上;若点P满足|PF2|-|PF1|=2a,则点P在左支上.(2)在双曲线定义中,规定2a2c时,动点P的轨迹不存在.,2.对双曲线标准方程的四点认识(1)只有当双曲线的两焦点F1,F2在坐标轴上,并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程.(2)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条
3、件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中ab0,而双曲线中a,b大小则不确定.,(3)焦点F1,F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上,若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.(4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式,即Ax2+By2=1(AB0,b0),点A,B在双曲线右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一个焦点,则ABF1的周长为()A.2a+2m B.4a+2mC.a+m D.2a+4m,【解析】选B.设ABF1的周长为Z,则Z=|AF1|+|BF1|+|AB
4、|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|=2a+2a+2m=4a+2m.,类型 二 求双曲线的标准方程 【典型例题】1.(2013上高高二检测)与椭圆 +y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是()A. -y2=1 B. -y2=1C. D.2.已知双曲线过P1(-2, )和P2( ,4)两点,求双曲线的标准方程.,【解题探究】1.在椭圆和双曲线的标准方程中,a,b,c的关系有什么区别?2.当双曲线的焦点位置不确定时,求标准方程有哪两种常见思路?探究提示:1.在椭圆的标
5、准方程中,a2-b2=c2;在双曲线的标准方程中,a2+b2=c2.2.思路1:分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论.思路2:设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0,b0),则且a2+b2=3.解得a2=2,b2=1,故标准方程为 -y2=1.,方法二:椭圆 +y2=1的焦点坐标为(- ,0)和( ,0),双曲线的两个焦点坐标也是(- ,0)和( ,0).点(2,1)在双曲线上,则2a=| |= ( +1)- ( -1)=2 ,a= .从而b2=3-2=1.双曲线标准方程为 -y2=1.,2.方法一:当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为 (a0,b0).由P1,P2在双曲线上,知解之得
6、不合题意,舍去;,当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为(a0,b0).由P1,P2在双曲线上,知解之得 即a2=9,b2=16.故所求双曲线方程为,方法二:双曲线的焦点位置不确定,可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0,b0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn3是方程表示双曲线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,2.(2013大连高二检测)方程 表示的曲线为C,给出下列四个命题:曲线C不可能为圆;若14;若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1k0,n0且mn时,方程mx2+ny2=1表示椭圆,当mn0,即k3或k3”成立时,方
7、程 表示双曲线,反过来,当方程表示双曲线时,不一定有k3成立.,2.当4-k=k-1时,k= ,这时4-k=k-10,k= 时,方程表示圆,故错误;当4-k0,k-10且4-kk-1即14或kk-10,即1k ,故正确.答案:,【拓展提升】1.对方程mx2+ny2=1表示曲线的分析,2.双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较,【变式训练】已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.【解题指南】利用分类讨论的思想解决.【解析】(1)当k=0时,y=2,表示两条与x轴平行的直线.(2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2的圆.,(3)当
8、k1时,方程为 表示焦点在y轴上的椭圆.,定义法求双曲线的方程 【典型例题】 1.已知点P(x,y)的坐标满足下列条件,试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形:(1)满足| |=6的轨迹是.(2)满足 =6的轨迹是.,2.在MNG中,已知|NG|=4.当动点M满足条件sinG-sinN= sinM时,求动点M的轨迹方程.3.如图,已知定圆C1:x2+y2+10x+24=0,定圆C2:x2+y2-10x+9=0,动圆C与定圆C1,C2都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.,【解析】1.(1)| |表示点P(x,y)到两定点F1(-5,0),F2(5,0)的距离之差的绝对值,|F1F2|=10, |PF
9、1|-|PF2|=6|F1F2|,故点P的轨迹是双曲线.(2) 表示点P(x,y)到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之差,|F1F2|=8,|PF1|-|PF2|=6|F1F2|,故点P的轨迹是双曲线的右支.答案:(1)双曲线(2)双曲线的右支,2.在MNG中,sinG-sinN= sinM,|NG|=4,根据正弦定理得|MN|-|MG|= |NG|=21).,3.圆C1化为标准方程为(x+5)2+y2=1,圆心C1(-5,0),半径r1=1.圆C2化为标准方程为(x-5)2+y2=42,圆心C2(5,0),半径r2=4.设动圆C的圆心坐标为C(x,y),半径为R,则有|CC1|=
10、R+1,|CC2|=R+4,|CC2|-|CC1|=3且|CC2|-|CC1|C1C2|.C点轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,且a= ,c=5.动圆圆心C的轨迹方程为 (x- ).,【拓展提升】1.定义法求双曲线的标准方程如果平面内的动点P(x,y)满足条件:|PF1|-|PF2|=2a(定长),那么当02a|PF2|.由双曲线方程x2-y2=1知a=b=1,c= .由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2. 由已知条件PF1PF2及勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8,上述两式联立,解得|PF1|= +1,|PF2|= -1,故|PF1|+|PF
11、2|=2 .答案:2,【误区警示】,【防范措施】1.正确理解定义若点在椭圆上,则|PF1|+|PF2|=2a;若点在双曲线上,则|PF1|-|PF2|=2a.要注意区分其差别,本例中可结合双曲线的对称性设|PF1|PF2|得到|PF1|-|PF2|=2a=2.,2.正确处理焦点三角形处理焦点三角形时,一定要结合定义、勾股定理和余弦定理求解,在求解过程中要注意配方技巧,即|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|,如本例中,可由PF1PF2,结合勾股定理解决.,【类题试解】已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|
12、PF1|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8,【解析】选B.由余弦定理得cosF1PF2= cos60= = |PF1|PF2|=4.,1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.( ,0) B.( ,0)C.( ,0) D.( ,0)【解析】选C.双曲线方程化为标准形式为x2- =1,c2=1+ = ,c= ,右焦点坐标为( ,0).,2.双曲线 的两个焦点分别是F1,F2,双曲线上一点P到F1的距离是12,则P到F2的距离是()A.17 B.7C.7或17 D.2或22【解析】选D.由 得a=5,b=3.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=10.|PF2|=2
13、或22,经检验都满足.,3.“k9”是“方程 表示双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.方程表示双曲线时(k-4)(9-k)0,解得k9或k9”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件.,4.下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有(把序号填在横线上).x2- y2=1; =1(a0);y2-2x2=1;x2cos+y2sin=1( 0,b0).因为双曲线过点P(4 ,-3),所以 .,又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以 =0,即-c2+25=0.解得c2=25 .又c2=a2+b2 ,所以由可解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是,
