1、第二讲 证明不等式的基本方法一 比较法,比较法,ab,a=b,ab,a0,所以PQ.答案：PQ,1.作差比较法的适用范围当被证明的不等式是分式、整式时，一般用作差比较法.2.作商比较法中的符号问题在作商比较法中， 是不正确的，这与b的符号有关，就是说在作商比较中，要对分母的符号作出判断，否则，结论将是错误的，若不等式两边的式子均为负值时，可先同乘以(-1)转化不等式两边的式子均为正值后再进行证明.,类型 一 作差比较法 【典型例题】1.设x0,y0，则 与 的大小关系是_.2.已知正数a,b,c成等比数列求证： a2b2+c2(ab+c)2.,【解题探究】1.真分数的分子与分母同加上一个正数,
2、真分数的值会变大吗?2.正数a,b,c成等比数列能得出什么结论?,探究提示：1.根据真分数的性质可知, 真分数的分子与分母同加上一个正数,真分数的值会变大.2.若正数a,b,c成等比数列,则b2=ac, .,【解析】1. =答案：,2.因为正数a,b,c成等比数列, 所以b2=ac, (a2b2+c2)(ab+c)2=a2b2+c2a2b2c2+2ab2ac+2bc=2ab4b2+2bc=2b(a2b+c)=所以a2b2+c2(ab+c)2.,【拓展提升】作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变
3、形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.,【变式训练】若cab0，比较大小： (填“”“=”或“”).【解析】因为=又因为c-a0,c-b0,a-b0,c0,所以 即答案：,类型 二 商比较法 【典型例题】1.已知a2,则loga(a1)_log(a+1)a(填“” “=”或 “”).2.设a0,b0,求证：,【解题探究】1.两对数若底数不同,如何化成同底?2.由指数函数的性质可知a,b满
4、足什么条件时ab1?探究提示：1.可以通过换底公式把两对数换成同底的.2.若0a1,则b0时, ab1;若a1,则b0时, ab1.,【解析】1.因为a2,所以a11，所以因为因为a2,所以,所以即所以答案：,2.因为所以所以当a=b时,显然有当ab0时,当ba0时,由指数函数的单调性,有综上可知,对任意a0,b0,都有,【互动探究】题2中条件不变,求证：【证明】因为所以所以当a=b时,显然有当ab0时,当ba0时,由指数函数的单调性,有综上可知,对任意a0,b0,都有,【拓展提升】作商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商.(2)变形：化简商式到最简形式.(3)
5、判断：判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论.,【变式训练】比较大小： (填“” “=” 或“”).【解题指南】利用作商法比较.,【解析】因为所以 又所以答案：,【规范解答】比较法证明不等式 【典例】 (12分)【规范解答】 2分,【条件分析】,当a0,b0时，所以所以6分,当a,b有一个负数时，不妨设a0,b0，且a+b0,所以a|b|，又n为偶数，所以所以所以 10分综上所述， .12分,【失分警示】,【防范措施】1.正确应用作差比较法证明不等式利用作差法证明不等式关键在于变形，变形的目的在于判断差的符号，变形的方法可以利用配方法、因式分解等一切有效的恒等
6、变形的方法，如本例，若变形不正确或是不彻底，则后面的证明是相当困难的.,2.注意分类讨论思想的应用对于含有字母且字母取值不确定的要考虑分类讨论，分类时要恰当选择分类标准，如本例对a,b的取值进行分类讨论.,【类题试解】若abc，求证：bc2+ca2+ab2b2c+c2a+a2b.【证明】bc2+ca2+ab2-(b2c+c2a+a2b)=(bc2-c2a)+(ca2-b2c)+(ab2-a2b)=c2(b-a)+c(a-b)(a+b)+ab(b-a)=(b-a)(c2-ac-bc+ab)=(b-a)(c-a)(c-b),因为abc，所以b-a0,c-a0,c-b0,所以(b-a)(c-a)(c-b)0,所以bc2+ca2+ab2b2c+c2a+a2b.,1.已知 若x=m4m3n, y=mn3n4,则x,y的大小关系为 ( )A.xy B.x=yC.xy D.与m,n的取值有关,【解析】选A.xy=(m4m3n)(mn3n4)=m3(mn)n3(mn)=(mn)(m3n3)=(mn)2(m2+mn+n2)因为 所以xy0,即xy.,2.设0ba0,故 即答案：,5.已知a2,b2，则ab_a+b(填“” “=”或 “”).【解析】因为ab0，所以aba+b.答案：,6.已知a2,求证：【证明】 (因为a2)，即 故,
