1、第一章导数及其应用,1.1变化率与导数,1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,1.平均变化率(1)平均变化率的定义对于函数f(x),当自变量x从x1变到x2时,函数值从f(x1)变到f(x2),则称式子 为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.,(2)符号表示习惯上,自变量的改变量用x表示,即x=x2-x1,函数值的改变量用y表示,即y=f(x2)-f(x1),于是平均变化率可以表示为 .,目标导航,预习导引,1,2,(3)平均变化率的几何意义如下图所示,函数f(x)的平均变化率的几何意义是直线AB的斜率.事实上, 根据平均变化率的几何意义,
2、可求解有关曲线割线的斜率.,目标导航,预习导引,1,2,预习交流1思考:函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率可以等于0吗?若平均变化率等于0,是否说明f(x)在区间x1,x2上没有变化或一定为常数?,提示:函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率可以等于0,这时f(x1)=f(x2);平均变化率等于0,不能说明f(x)在区间x1,x2上没有变化,也不能说明f(x)一定为常数,例如f(x)=x2-1在区间-2,2上.,目标导航,预习导引,1,2,2.导数的概念(1)导数的定义一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数.,(2)导数的符号表示
3、,目标导航,预习导引,1,2,预习交流2(1)思考:能否认为函数在x=x0处的导数值越大,其函数值变化就越大?,提示:不能.导数的正、负号确定函数值变化的趋势,其绝对值的大小决定函数值变化的快慢,应该说导数的绝对值越大,函数值变化得越快.,(2)做一做:求函数f(x)=2x2在x=-1处的导数.,提示:求f(x)在x=-1处函数值的改变量y=f(-1+x)-f(-1)=2(x)2-4x;求f(x)的平均变化率,求瞬时变化率即导数,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一、求函数的平均变化率1.对平均变化率的四点说明(1)函数f(x)在x1处有定义.(2)x为自变量的改变量,所以x0,可正、
4、可负.y为函数值的改变量,所以y可正、可负、可为零,即yR. (3)注意自变量与函数值的对应关系.公式中x=x2-x1,则,(4)在公式= 中,当x1取定值,x取不同的数值时,函数的平均变化率是不同的;当x取定值,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也是不同的.特别地,当函数f(x)为常数函数时,y=0,则,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,思路分析:按照平均变化率的定义分三步求得平均变化率的值或表达式.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,答案:B,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,2.
5、已知f(x)=x2-3x+5,则函数f(x)从1到2的平均变化率是.,答案:0,解析:x=2-1=1,y=f(2)-f(1)=22-32+5-(12-31+5)=0,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,2.对瞬时变化率的两点说明(1)平均变化率与瞬时变化率的关系:区别:平均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0处变化的快慢;联系:当x趋近于0时,平均变化率 趋近于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.(2)“x无限趋近于0”的含义:x趋于0的距离要多近有多近,即|x-0|可以小于给定的任
6、意小的正数,且始终x0.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例2】 一辆汽车按规律s(t)=at2+1做直线运动,若汽车在t=2时的瞬时速度为12,求a.,思路分析:先根据瞬时速度的求法得到汽车在t=2时的瞬时速度的表达式,再代入求出a的值.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么该物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒,答案:C,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,三、求函数在某点处的导数1.函数在x0处的导数就是
7、在该处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限,它是一个数值,只与x0有关,与x无关,不是变数.2.求函数y=f(x)在x0处的导数的三个步骤,简称:一差、二比、三极限.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例3】 (1)求函数f(x)= 在x=1处的导数;(2)如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,当t1=4,t=0.01时,求y和比值求t1=4时的导数.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,答案:-1,案例探究,误区警示,易错辨析:对导数的概念理解不清致误若函数f(x)在x=a处的导数为m,则 的值为.,答案:4m,防范措施,案例探究,误区警示,防范措施,案例探究,误区警示,防范措施,弄清导数的含义:函数在某一点处的导数是在该点附近平均变化率的极限,函数自变量的增量,既可以是正数,也可以是负数,导数是函数值的改变量与“相应”自变量改变量比值的极限,如本例中,
