1、 目录 上页 下页 返回 结束 第二章 矩阵 2.2 可 逆矩阵 2.1 矩阵的运算 2.3 分块 矩阵 目录 上页 下页 返回 结束 学习要点： 1. 熟练 掌握矩阵的代数运算：矩阵的加法；矩阵的数乘；矩阵的乘法；矩阵的转置等。 2. 掌握逆矩阵的定义；可逆矩阵的性质；矩阵可逆的充分必要条件。 3. 熟练掌握逆矩阵的求法：初等行变换法。 4. 掌握分块矩阵的运算，了解矩阵常用的分块方法。 目录 上页 下页 返回 结束 2.1 矩阵的运算 主要内容 一、矩阵的加法运算 二、矩阵的数乘运算 三、矩阵的乘法运算 四、矩阵的转置运算 目录 上页 下页 返回 结束 nmijnmij bBaA ,1 1
2、 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m m m m n m na b a b a ba b a b a ba b a b a b BA defA mnmmnnijaaaaaaaaaa212222111211)(defdef )( BABA 一、矩阵的加法运算 矩阵减法 目录 上页 下页 返回 结束 ABBA 交换律：)1( CBACBA )2( 结合律： OAA )4(AOA )3(运算规律 目录 上页 下页 返回 结束 RaA nmij ,)(AA 1)1(A1 1 1 2 12 1 2 2 212nnm m m na a aa a
3、 aa a a defA)()()2( AA AAA )()3(BABA )()4(运算规律 二、矩阵的数乘运算 每个元素 都乘！ 目录 上页 下页 返回 结束 312201A105431B,BA ,BA .23 BA ,417 632 BA ,213230 BABA 23 9366032010862734261 设 , 求 解 , = . 例 1 目录 上页 下页 返回 结束 例 2 ,501 431,312 201 BA其中解矩阵方程 ,23 BAX 9366031342611002862 BAX 23解 【 注 】 P22 目录 上页 下页 返回 结束 三、矩阵的乘法运算 单变量 线性
4、方程可写为 ax b那么， 多变量 线性 方程是否也可以用如此简单的形式表示？ 形式简单！ 进一步， 线性 方程组 呢？ 2543 321 xxx1 2 31 2 33 4 5 22 3 6x x xx x x 目录 上页 下页 返回 结束 引例 1， 考虑方程 2543 321 xxx系数矩阵为 1 3 4 5 A 未知向量 321xxxX定义 行矩阵 的乘积 1A 与列矩阵 X1 3 4 5 AX 321xxx321 543 xxx 则方程 2543 321 xxx 可写为矩阵方程 1 2AX 目录 上页 下页 返回 结束 考虑线性方程组 引例 2 1 2 31 2 33 4 5 22 3
5、 6x x xx x x 1 3 4 5 A 321xxxX1 2AX 2 2 1 3 A 2 6AX 1 3 4 5 AX 321xxx321 543 xxx 2 2 1 3 AX 321xxx1 2 323x x x 3 4 5 2 1 31 2 31 2 33 4 52 3x x xx x x3 4 52 1 3A 2 6B A X B 目录 上页 下页 返回 结束 线性方程组 记 12nxxXx123bbBb 目录 上页 下页 返回 结束 mnmmnnaaaaaaaaaAX.21222211121112nxxxnmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa.2211222212
6、11212111则线性方程组可表示为 矩阵方程 BAX 定义 乘积 目录 上页 下页 返回 结束 已知矩阵 ,735124A412X计算 AX解 .AX735124412 2124713)2(54112)2(4例 3 目录 上页 下页 返回 结束 考虑两个线性方程组 引例 3 1 2 31 2 33 4 5 22 3 6x x xx x x 1 2 31 2 33 4 5 42 3 3y y yy y y 1A X B3 4 52 1 3A 126B 321xxxX123yYyy243B 2A Y B1122333 4 5 2 42 1 3 6 3xyxyxy AZ B 目录 上页 下页 返回
7、 结束 njmi ,2,1;,2,1 smijaA )( nsijbB )( nmijcC )(skkjiksjisjiji babababa12211 defijcnssm BA defnmC smmsmjmisijisjaaaaaaaaaA1111111 1 1 111jni ij ins s j s nsnb b bb b bBb b b 矩阵的乘法 目录 上页 下页 返回 结束 2222 63422142C22 16 328 16?106861985123321不存在 123321 132231 .10 21322 12 2212 2213 23.634242例 4 目录 上页 下页
8、返回 结束 例 5 03 21,11 11,11 11 CBA 11 1111 11AB 11 1111 11BA 03 2111 11AC2A def AA 11111111 2222 0000 2222 0000?BAAB ?CBACAB OBA ?or OAOB ?2 OAOA 这都是 矩阵与 数的不同 目录 上页 下页 返回 结束 4333 7311208541211114443 1111731120854121 4373112085412143731120854121例 6 )( AEEAEAAE nnmnmm 问 ： E在矩阵乘法中的作用 目录 上页 下页 返回 结束 运算规律 B
9、CACAB 1 ,3 ACABCBA CABAAB BABAAB 2)()4( AEEAEAAE nnmnmm 目录 上页 下页 返回 结束 方阵的幂 设 A是 n阶方阵， 定义 111121 , AAAAAAAA kk 规定 EA 0mm AaAaEaAf 10)(称 为 A的 m次多项式 。 mm xaxaaxf 10)(设 为 x的 m次多项式， 运算规律 lklk AAA kllk AA )()()()()( AfAgAgAf 目录 上页 下页 返回 结束 rraaEaf 10)(,21n若 ,21knkkk则10111aa n21,21rnrrra)()()(21nfff 目录 上页
10、 下页 返回 结束 例 7 举例说明 222)()1( BAAB 222 2)()2( BABABA )()3( 22 BABABA 0110,0001 BA 000000100010)( 2AB 0001000100012A 001001100001AB 1001011001102B 0001222 ABAABBA 01 0000 0101 10因 下一例题说明 (2)(3)不成立。 目录 上页 下页 返回 结束 222 2)()1( BABABA )()2( 22 BABABA 成立的充要条件是 A与 B可交换 (即 AB=BA)。 222 2)()1( BABABA 22 2)( BABABABA 2222 BABABABBAABA BAAB )()2( 22 BABABA BAABBBAABABA 2222例 8
