1、二平面与圆柱面的截线,1.通过圆柱形水杯中水面的倾斜,感受平面截圆柱的形式,并能证明定理1.2.通过Dandelin双球探求椭圆的性质,体会这种证明问题的方法.,Dandelin双球探求椭圆性质的过程剖析:通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形,类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形,从而得到定理1及有关结论,因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究,这有助于理解椭圆和下一节的知识.圆柱内嵌入两个球,使它们分别位于斜截面的上方和下方,并且与圆柱和斜截面均相切,这是证明定理的关键.这种方法是数学家Dandelin创立的,故将嵌入的两球称为Dandelin双
2、球.要注意对于Dandelin双球的研究.,题型一,题型二,题型三,【例1】 已知平面与一圆柱的母线成60角,那么该平面与圆柱截口图形的离心率是()答案:D反思圆柱形物体的斜截口是椭圆,因此,椭圆的度量性质和底面半径、截面与母线的夹角密切相关.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30的平面所截,截口是一个椭圆,该椭圆的长轴长,短轴长,离心率为.,题型一,题型二,题型三,【例2】 如图,已知球O1,O2分别切平面于点F1,F2,P1P2为O1的一条直径,点Q1,Q2分别为点P1,P2在平面内的平行射影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2互
3、相垂直平分.,题型一,题型二,题型三,证明:如图,过点G1作G1HBG2,H为垂足,则四边形ABHG1是矩形.G1H=AB.点Q1,Q2分别是点P1,P2的平行射影,P1Q1P2Q2.四边形P1Q1Q2P2是平行四边形.Q1Q2=P1P2,即Q1Q2等于底面直径.G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切线长定理,知G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B,G2F1-G2F2=G2B-G1A.又G1A=BH,G2F1-G2F2=G2B-BH.F1F2=G2H.,题型一,题型二,题型三,反思探究圆柱体的斜截口椭圆的性质时,需考查Dandelin双球与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的
4、相似与全等、解直角三角形及平行射影的性质.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 设平面与圆柱的轴的夹角为(090),现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面都相切,若已知Dandelin双球与平面的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径,则截线椭圆的离心率为(),解析:Dandelin双球与平面的切点恰好是椭圆的焦点,圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长,由题意知,2b=2c.答案:B,题型一,题型二,题型三,易错点:概念不清而致错【例3】 如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为(090)的平面所截,截面是一个椭圆.当=30时,这个椭圆的离心率为()错解:由题易知,平面与圆柱的截口为椭圆,所以离心率错因分析:上述解法错在没有正确理解椭圆的离心率的求解方法,在利用公式e=cos 时,必须是圆柱的母线与平面的夹角.,题型一,题型二,题型三,正解:A,
