1、三平面与圆锥面的截线,1.了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线.2.感受平面截圆锥的形状,并从理论上证明.3.通过Dandelin双球探求双曲线的性质,理解这种证明问题的方法.,在定理2中,当时,探究截线形状剖析:如图,当时,平面与圆锥面的两部分相交,在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球,与平面的两个切点分别为F1,F2,与圆锥两部分截的圆分别为S1,S2.,在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过点P和圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1,Q2点,则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=Q1Q2,所以Q1Q2
2、是两圆S1,S2所在平行平面间的母线段的长,且为定值.所以由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线.,题型一,题型二,题型三,【例1】 如图,讨论其中双曲线的离心率.其中是Dandelin球与圆锥交线S2所在的平面,与的交线为m.,题型一,题型二,题型三,解:点P是双曲线上任意一点,连接PF2,过点P作PAm于点A,连接AF2,过点P作PB平面于点B,连接AB,过点P作母线交S2于点Q2.PB平行于圆锥的轴,BPA=,BPQ2=.反思讨论圆锥曲线的几何性质时,要注意结合图形进行.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面的上方,一个位于平面的下方,并
3、且与平面及圆锥均相切.若平面与双球的切点不重合,则平面与圆锥面的截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:由于平面与双球的切点不重合,则平面与圆锥母线不平行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆.答案:B,题型一,题型二,题型三,【例2】 已知双曲线两个顶点间的距离为2a,焦距为2c,求两条准线间的距离.解:如图,l1,l2是双曲线的准线,F1,F2是焦点,A1,A2是顶点,O为中心.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 顶角为60的圆锥面中有一个半径为2的内切球,以该球为焦球作一截面,使截线为抛物线,求该抛物线的顶点到焦点的距,题型一,题型二,题型三,解:如
4、图是圆锥的截面,其中点P为抛物线的顶点,点Q为抛物线的焦点,点M为截面与轴的交点,连接OA,OQ.设A,B为球与圆锥的母线的切点.由ASB=60,ASO=30.又OA=2,OASA,OS=4,易知OPOS,又PMSB,PMS=OSB=OSA,SM=2OS=8.,题型一,题型二,题型三,易错点:错用圆锥曲线的离心率公式而致错【例3】 已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线的离心率为(),错解:因为圆锥面的截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角为45.又因为截面与轴线的夹角为30,所以截线的离心率为,题型一,题型二,题型三,正解:A解析:圆锥的轴截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角=45.又截面与轴线的夹角=30,即,截线是双曲线,其离心率,
