1、1.3.2函数的极值与导数,1.结合函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).,(2)极大值点与极大值.如图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.,归纳总结一般地,如果函数y=f(x)在某点处可导,那么“函数y=f(x)在这一点处的导数为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的必要不充分条件.,1.如何正确理解极值?剖析:极大值与极小值统称为极值.在定义中,取得极值
2、的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.关于极值请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.(5)若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f(c)存在,则“f(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.,(6)若f(x)在区间(a,b)内有
3、极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间内单调的函数没有极值.(7)如果函数f(x)在a,b上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在a,b上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在a,b上的极大值点、极小值点是交替出现的.,归纳总结极值点可以看成是函数单调递增区间与单调递减区间的分界点.极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型
4、二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思求函数的极值应注意以下几点:(1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时,若方程f(x)=0的实根较多时,应注意使用表格,使极值点一目了然.(2)讨论函数的性质要遵循定义域优先的原则.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,已知极值求参数【例2】 已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取极值0,求常数a,b的值.分析:求f(x)建立关于a,b的方程组求解a,b将a,b代入原函数验证极值情况根的取舍,题型一,题型二,题型三,题型四,当x(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x(-1,+)时,f(x)
5、为增函数.所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.,反思当已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点:(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 已知f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)在点x=0处取得极值,并且在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性.(1)求实数b的值;(2)求实数a的取值范围.分析:由函数在区间0,2和4,5上具有相反的单调性,可以确定另一个极值点
6、一定落在2到4之间.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,极值的综合运用【例3】 求函数f(x)=x3-3x2-a(aR)的极值,并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点.分析:求出函数的单调区间和极值,借助函数图象判定函数零点的个数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:函数在一点处的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件,而非充分条件.错解中忽略了对得出的两组解进行检验而出错.一般地,根据极值条件求参数值的问题时,在得到参数的两组解后,应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验,考察每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值,从而进行取舍.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思“f(x0)=0”是“x0为极值点”的必要不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定既要考虑f(x0)=0,又要检验是否符合“左正右负”(“左负右正”)的条件.,
