1、三相似三角形的判定及性质,1.相似三角形的判定,1.了解三角形相似的定义,掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法.2.会证明三角形相似,并能解决有关问题.,同一法证明几何问题剖析:当直接证明一个几何问题比较困难时,往往采用间接证明的方法.“同一法”就是一种间接证明的方法.应用同一法证明问题时,往往首先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合命题的已知条件,确定所作图形与题设条件所指的图形相同,从而证明命题成立.例如,如图,已知PQ,TR为O的切线,P,R为切点,PQRT,证明PR为O的直径.,证明:如图,延长PO交RT于点R,POPQ,PRPQ.PQRT,PRRT,即ORRT
2、.又TR为O的切线,R为切点,ORRT,点R与点R重合,PR为O的直径.由上例可以看出,同一法证明几何问题的步骤如下:(1)首先作出一个符合结论的图形,然后推证出所作的图形符合已知条件;(2)根据唯一性,证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的;(3)说明已知图形符合结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.本题中,DAB与EAC的相等关系不易直接找到,这里用BAC=EAD,在BAC和EAD中分别减去同一个角DAC,间接证明DAB=EAC.2.判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪些角对应相等,根据三角形相似的判定定理,找到符合定理的
3、条件就能推导出结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 如图,1=2,3=4.求证:ABDACE.证明:1=2,BAC=DAE.又3=4,ABCADE.又1=2,ABDACE.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:ADQQCP.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思直角三角形相似的判定方法很多,既可根据一般三角形相似的判定方法判定,又有其特有的判定方法.在求证、识别的过程中,可由已知条件结合图形特征确定合适的方法.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型
4、二,题型三,题型四,分析:所要证明的等式中的四条线段AB,AC,CD,BC分别在ABC和BCD中,但这两个三角形不相似,由题意可得BD=CD,这样AB,AC,BD,BC分别在ABC和ABD中,只需证明这两个三角形相似即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思证明线段成比例,常先把等式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边,再证明这两个三角形相似即可,若这四条线段不能分别看成两个三角形的两边,则利用相等线段进行转化,如本题中把CD转化为BD.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 如图,在ABC中,BAC=90,ADBC于D,E是AC的中点,连接ED,
5、并延长与AB的延长线交于点F.求证:ABAC=DFAF.证明:BAC=90,ADBC,C=BAD,RtADBRtCAB,ABAC=BDAD.又E是AC的中点,AE=DE=EC,C=CDE.BAD=CDE=BDF.又F=F,FDBFAD.BDAD=DFAF,即ABAC=DFAF.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例4】 如图,在ABC中,D是BC的中点,M是AD上一点,BM,CM的延长线分别交AC,AB于F,E两点.求证:EFBC.分析:要证明EFBC,想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的,而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理,图中又没有平行条件,因此要设法作出平行线,以便利用判定
6、定理.在作平行线时,要充分考虑到中点D的应用.,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:(方法一)延长AD至点G,使DG=MD,连接BG,CG,如图.BD=DC,MD=DG,四边形BGCM为平行四边形.ECBG,FBCG.EFBC.,题型一,题型二,题型三,题型四,(方法二)过点A作BC的平行线,与BF,CE的延长线分别交于G,H两点,如图.,题型一,题型二,题型三,题型四,(方法三)过点M作BC的平行线,分别与AB,AC交于G,H两点,如图.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思利用引理来证明两条直线平行的关键是证明其对应线段成比例,这样即可转化为证明线段成比例,其证明方法有:利用中间量,如本题证法一;转化为线段成比例,如本题证法二;既用中间量,又转化为线段成比例,如本题证法三.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 如图,已知点A,B,C在O的一边l上,点A,B,C在另一边l上,并且直线ABBA,BCCB.求证:ACCA.,题型一,题型二,题型三,题型四,
