1、单元整合,专题一,专题二,专题一正确使用数学归纳法同学们在刚开始学习数学归纳法时,常常会遇到两个困难,一是数学归纳法的思想实质不容易理解,二是归纳步骤的证明有时感到难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理,以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理,弄清它的实质,从而明确如何正确地使用数学归纳法.(1)缺少数学归纳法的第二步.有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立,那么由P(k)成立导出P(k+1)成立是必然的,因此第二步归纳步骤是流于形式,证与不证似乎一样,显然这是不正确的.产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用,如果没有递推性,那么一个命题可能对于开头的许多自
2、然数都成立,但是一般的并不成立,我们举几个例子来看看.,专题一,专题二,专题一,专题二,例1如果不要奠基步骤,试证明(n+1)2+(n+2)2一定是偶数(nN+).剖析:假设n=k时命题成立,即(k+1)2+(k+2)2是偶数.当n=k+1时,(k+1)+12+(k+1)+22=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2+4(k+2).由假设(k+1)2+(k+2)2是偶数,又4(k+2)也是偶数,所以上式是偶数,这就是说n=k+1时命题也成立.由此,对于任意的正整数n,(n+1)2+(n+2)2一定是偶数.这个结论显然是错误的,原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤
3、,实际上,n=1时,(1+1)2+(1+2)2=4+9=13不是偶数,这说明使用数学归纳法时缺第一步不可.,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,专题二数学归纳法证题的几种技巧在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.,专题一,专题二,1.分析综合法用数学归纳法假设证明关于正整数n的等式,从“P(k)”到“P
4、(k+1)”,常常可用分析综合法.例3用数学归纳法证明:12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN+).,专题一,专题二,证明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1(21+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(kN+,k1)时,等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),则当n=k+1时,12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-2(k+1)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k+1)2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)2(k+1)+1,即当n=k
5、+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对任何nN+,等式成立.,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,5.几何法“几何类”命题的证题关键是先要从证n=k+1时命题成立的结论中,分解出n=k时命题成立的部分,然后去证余下的部分.例7证明:凸n边形的内角和f(n)=(n-2)180(n3).证明:(1)当n=3时,f(3)=180,(3-2)180=180.故命题成立.(2)假设当n=k(k3)时,有f(k)=(k-2)180,则当边数n=k+1时,把k+1边形分割为一个k边形和一个三角形,则凸k+1边形的内角和为凸k边形内角和加上这个三角形的内角和.所以f(k+1)=f(k)+180=(k-2)180+180=(k+1)-2180.故当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)得,当n3时,凸n边形内角和为f(n)=(n-2)180.,
