1、本章整合,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一含绝对值不等式的解法1.公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3.零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用1解下列关于x的不等式:(1)|x-x2-2|x2-3x-4;(2)|x-2|-|2x+5|2x.提示:根据绝对值的意义,先去掉绝对值符号,再解不等式.解:(1)解
2、法一:原不等式等价于x-x2-2x2-3x-4或x-x2-2-3.解法二:|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2,原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4,解得x-3.故原不等式的解集为x|x-3.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1,p2表示).,解:f(x)=f1(x)恒成立f1(x)f2(x),|x-p1|-|x-p2|log32. (*)若p1=p2,则(*)式0log32,显然成立;若p1p2,记g(x)=|x-p1|-|x-p2|.当p1p2时,专题一,专题二,专题三,专题四,所以g(x
3、)max=p1-p2,故只需p1-p2log32.当p1p2时,所以g(x)max=p2-p1,故只需p2-p1log32.综上所述,f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1-p2|log32.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型:(1)和为定值时,积有最大值;(2)积为定值时,和有最小值.在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.应用1(1)已知0xa.(1)当a=1时,解此不等式;(2)当a为何值时,此不等式的解集是R?提示:对于(1),根据对数函数的单调性转化为绝对值不等式求解.
4、(2)可转化为函数最值问题求解.解:(1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)1,|x+3|+|x-7|10,x7或x7.,专题一,专题二,专题三,专题四,(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x-7)0,即-3x7时,f(x)取得最小值10,即lg(|x+3|+|x-7|)1.故要使lg(|x+3|+|x-7|)a的解集为R,只要a0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcdb2c2+a2d2.即证(
5、bc-ad)20.因为a,b,c,dR,所以上式恒成立.故原不等式成立.综合(1)(2)可知,原不等式成立.,专题一,专题二,专题三,专题四,证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2.,证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,专题一,专题二,专题三,专题四,证法五:构造函数f(x)=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)=(a2x2+2ac
6、x+c2)+(b2x2+2bdx+d2)=(ax+c)2+(bx+d)2.不论x取任何实数,函数f(x)的值均为非负数,因此,(1)当 2 + 2 0时,方程f(x)=0的判别式0,即2(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)0.即(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),专题一,专题二,专题三,专题四,(2)当a2+b2=0时,原不等式显然成立.综合(1)(2)可知,原不等式成立.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用2用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.证明:如图所示,在ABC中,CAB90,D是BC的中点.,专题一,专题二,专题三,专题四,1,2,3,4,5
7、,6,7,1(江西高考)在实数范围内,不等式|x-2|-1|1的解集为.解析:原不等式等价于-1|x-2|-11,即0|x-2|2,解得0x4.答案:0,4,1,2,3,4,5,6,7,2(重庆高考)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|a无解,则实数a的取值范围是.,域为8,+),因为原不等式无解,所以只需a8,故a的取值范围是(-,8.方法二:由绝对值不等式,得|x-5|+|x+3|(x-5)-(x+3)|=8,故不等式|x-5|+|x+3|1.(1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.
8、,当x2时,由f(x)4-|x-4|,得-2x+64,解得x1;当2x4时,f(x)4-|x-4|无解;当x4时,由f(x)4-|x-4|,得2x-64,解得x5;所以f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.,(2)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)0,即-1x2时等号成立.所以f(x)的最小值为3.,1,2,3,4,5,6,7,6(课标全国高考)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)g(x)的解集;,解:(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,7(课标全国高考)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:,证明:(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,
