1、数学归纳法的应用数学归纳法是高中数学中一种重要的数学方法，常常以观察、试验、类比、联想、归纳提出合理的科学猜想，通过数学归纳法的证明可以保证猜想的合理性与正确性广泛的用来证明等式、不等式、整除性问题等与自然数有关的命题下面举例说明数学归纳法的几种应用一、等式问题例 1 已知 nN，求证：1123422nn 证明：（1）当 时，等式左边 ，右边 12，等式成立（2）假设当 k时，命题成立即11342kk 则当 n时，1212()()1()kkk 112322()1()()()()kkk。当 n时，等式成立综上，由（1）和（2）可知，对于任何 nN，等式成立评注：本题在证明过程中突出了一个凑字，即
2、“凑”结论，关键是明确 1nk时证明的目标，充分考虑由 k到 1时，命题形式之间的区别和联系二、不等式问题例 2 求证： 15(2)236nn ， 证明：（1）当 n=2 时，左边 4，不等式成立（2）假设当 ()kN， 时命题成立，即 115236kk 则当 1时，111()()2323()kkk111 56323kk 156，所以当 nk时不等式也成立由（1）和（2）可知，原不等式对一切 2n ， N均成立评注：本题在由 到 1nk时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一三、整除性问题例 3 利用数学归纳法证明 (3)7()nA能被 9
3、 整除证明：（1）当 n=1 时， （311）112，能被 9 整除，所以命题成立（2）假设当 nk时命题成立，即 ()1k能被 9 整除那么当 时，113()7(34)7kkAA1k(1)6()k k37213kA()9()k由归纳假设知， ()k能被 9 整除，而 7(23)k也能被 9 整除，故13()7kA能被 9 整除这就是说，当 n时，命题也成立由（1）和（2）可知，对一切 nN， (31)7nA都能被 9 整除评注：涉及整除问题，常利用提取公因式凑成假设、凑出整除式等方法，其中等价变换的技巧性较强归纳 猜想 证明“归纳猜想证明”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型解
4、这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明其中解题的关键在于正确的归纳猜想，下面举例说明例 1 是否存在常数 a、b、c，使得等式2222(1)34()nabnc对一切 N成立？并证明你的结论分析：可先进行计算，找到 a、b、c 的值，再归纳猜想，最后证明解：假设存在常数 a、b、c 使上式对 nN均成立，则当 123n， ， 时上式显然也成立，此时可得22()64)1393abc，解此方程组，可得 10c， ， 下面用数学归纳法证明等式 2222()134()310)nn对一切 nN均成立当 n时，命题显然成立假设 k时，命题成立即 2222
5、()() )1kk ，那么当 1时，2222134()()k()01k221)()kk()(374k2)1()012k即当 nk时，命题成立综上所述，存在常数 3abc， ， ，使得等式 2222(1)4()nabnc 对一切 N均成立例 2 数列 na满足 0n，前 n 项和 12nnSa，求数列 nS的通项公式分析：该题未给出猜想信息，可先创造条件得出结论，再证明解： n， nS由 112Sa变形整理，得 21S，取正根，得 1，由 22Sa及 212S，得2221，变形整理，得 2，取正根，得 S同理，求得 3由此猜想 n下面用数学归纳法证明：（1）当 1时，上面已求出 1S，结论成立
6、（2）假设当 nk， N时，结论成立，即 kS那么当 时，111 11 122kkk kk kSaSS ，整理，得 21k，取正根，得 ，故 n时，结论成立 由（1）和（2） ，可知对任何 nN， nS成立例 3 已知 ()fx是定义在 R上的不恒为零的函数，且对任意的 abR， 都满足：()faba，若 (2)f， (2)nUf，求证： 1nU分析：用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想、证明四步完成证明： ()()ffb对任意 ab， 都成立，对于 (2)nUf当 1n时， 1；当 时， 2()()fff；当 3时， 223(；，猜想 ()()nfN （）下面用数学归纳法证明：（1）当 1
7、时， (2)f， （）式成立（2）假设 nk时， （）式成立，即 (2)kkf，当 时，1()(2)()()kkkffff112k， nk时， （）式成立 由（1）和（2） ，可知对任何 nN， ()2nf成立所以 (2)()nUf要证明结论成立，只需证明 10()nU 1()2n， U成立斐波那契级数1，1，2，3，5，8，13，21，34，在这些数中，从第 3 项开始，每一个数都是它前面的两个数的和，例如， 21， 853等等，这就是著名的斐波那契级数斐波那契级数出现在意大利数学家斐波那契（Fibonacci，11741250）在 1202 年所著的算盘书中书中是这样提出问题的：如果每对兔
8、子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对，假定每对兔子都是一雌一雄试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？由这个问题得出的序列就是上面列出的序列出人意料的是，这个序列在许多场合都出现因此，我们需要对它作些探讨序列中的每一个数叫做斐波那契数若第 n 个斐波那契数记为 nF，则我们有 01， F， 2， 3F， 45，这个序列有下面的递推关系21(2)nn， ， ， 斐波那契数的通项公式是1155nnF这个公式是法国数学家比内（Binet）求出的我们用数学归纳法证明它斐波那契级数的构造法告诉我们，从第 3 项开始，它的每一项都是前两项之和，并且
9、只有在给定了开头的两项之后，整个级数才能确定所以在使用数学归纳法证明公式时，需要对数学归纳法的基本程序作变动：（1）公式对 0n， 1这两种情况都正确；（2）假定公式对一切 k都成立，证明它对 kn也正确证明：（1）为了下面的证明，我们需要算出251542类似地，2，从而，22155（2）当 0n时，010101522F15512（3）当 1n时，125F215这就证明了当 0n和 1时公式是正确的（4）设 n 是任意自然数，并假定公式对一切 kn都成立，证明它对 kn正确根据斐波那契数的定义，我们有 21nnF1115551222nnnn1 15nnnn 1 1155222n n 由，得1 15n nnF 111522nn，原命题得证斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合在花的花瓣中存在斐波那契模式几乎所有的花，其花瓣都是斐波那契数例如百合花的花瓣有 3 瓣；梅花有 5 瓣；许多翠雀属植物有 8 瓣；万寿菊的花有 13 瓣；紫菀属的植物有 21 瓣；大多数雏菊有34、55、89 瓣在向日葵的花盘内葵花子的螺旋模式中也可以发现斐波那契级数高考。试 题.库
