1、2.2排序不等式,1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.了解排序不等式的结构与基本原理.3.理解排序不等式的简单应用.,1.排序不等式定义:设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn为b1,b2,bn的任一排列,称a1b1+a2b2+anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称a1bn+a2bn-1+anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和),称a1c1+a2c2+ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).定理(排序原理,又称为排序不等式)设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn为b1,b2,bn的任一排列,则有a1bn+a2bn-1+an
2、b1a1c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn,等号成立(反序和等于顺序和)a1=a2=an或b1=b2=bn.排序原理可简记作:反序和乱序和顺序和.,名师点拨(1)排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.对于排序原理的记忆,我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系.(2)学习排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增加或同时减少)时所得两两乘积之和最大,反方向单调
3、(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列.,【做一做1-1】 已知两组数a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a5c5的最大值和最小值分别是()A.132,6B.304,212C.22,6D.21,36解析:由排序不等式可知,最大值应为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,最小值为a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=
4、212.答案:B,【做一做1-2】 设a1,a2,a3(0,+),且a1,a2,a3的任一排列为,A.3B.6C.9D.12,答案:A,2.切比晓夫不等式设a1,a2,an;b1,b2,bn为任意两组实数,上述两式中等号当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时成立.,【做一做2】 已知a1,a2,a3;b1,b2,b3R,且a1a2a3,b1b2b3,则3(a1b1+a2b2+a3b3)(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(填“,0,因此可以直接构造两个数组证明.,反思可以直接利用ab0这一条件构造两个数组,用排序不等式证明.,题型一,题型二,题型四,题型三,需对所证不等式中所给的字母
5、顺序作出假设的情况,题型一,题型二,题型四,题型三,反思利用排序原理解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且要排列出大小顺序,因此比较出数组中各数间的大小关系是解题的关键.,题型一,题型二,题型三,题型四,对所证不等式中字母的大小顺序需要加以讨论【例3】 若x0,求证:1+x+x2+x2n(2n+1)xn.分析:题目中只给出了x0,但对于x1,xx2xn,但仍然成立,于是也成立.综合(1)(2),可知1+x+x2+xn(2n+1)xn.反思在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式,必须限定字母的大小顺序,而只有具有对称性的式子才可以直接限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论.,题型
6、一,题型二,题型三,题型四,易错辨析易错点:应用排序不等式时,因忽视等号成立的条件致错.【例4】 已知a1,a2,a3,b1,b2,b31,2,且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,试求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范围.错解:不妨设1a1a2a32,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且1c1c2c32,则a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3,3a1b1+a2b2+a3b312.a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为3,12.错因分析:由于a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3也不全相等,故排序不等式中
7、的等号不成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:(以上解答同错解中的过程)3a1b1+a2b2+a3b312.又a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3不全相等,等号不成立.a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为(3,12).,1 2 3,1设a,b(0,+),P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q之间的大小关系是()A.PQB.PQC.PQD.PQ答案:B,1 2 3,2设a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,则,答案:B,1 2 3,3车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,每台机床停产1 min损失5元,如果一次只能修理1台机床,则经合理安排损失最少为()元.A.420B.400C.450D.570解析:利用排序原理求得5台机床修复时间最少为84 min,所以最少损失为845=420元.答案:A,
