1、3.2.1 对数及其运算,.,一、从对数的运算性质说起,如果,（加法）,（减法）,（数乘）,注意：1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算不必考虑 ， 是否非负；但是从右向左运算时必须保证 ， 非负；2.两端的底数必须相同这就是说利用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .,则有：,计算,2、利用计算器计算 和 .,二、换底公式,1、利用计算器计算 和 ；,结果：1、 2、,说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学计算器可以直接计算常用对数和自然对数.,问题1 可否利用计算器求出 的值呢？,我们可设 ，,对上式两边同取以10为底的对
2、数可得,从而有,即,由,抽象推广到一般情况可得重要,的对数转换公式：,换底公式,说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面对 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程，并思考如何将以 为底 的对数转换为以 为底的对数的比值.,证明: 设x=logbN,根据对数定义,有 N=bx.两边取以a为底的对数,得 logaN=logabx.而logabx=xlogab,所以 logaN=xlogab.由于b1,则logab0,解出x得,因为x=logbN,所以,对数换底公式,换底公式好神奇换成新底可任意原底加底变分母真数加底变分子,对数换底公式的选用(1)在运算
3、过程中,出现不能直接用计算器获得对数值时,可化为常用对数进行运算.(2)在使用换底公式时,底数取值不唯一,只要是不等于1的正数均可以,应根据实际情况选择.,令 ，,推论2,推论1,三、推论,则 就变形为,注：实际上由换底公式直接可得推论2，请同学们自己推导.,直接利用换底公式,推论3,证明,左边,右边,四、应用,例1 计算：,例2 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：,已知lg2=a,lg3=b,请用a,b表示下列各式的值.1.log36=2.log210=3.log35=4.log1236=,补充练习,例4：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估
4、计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).,解 设最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.则 经过1年,剩留量是y=0.84; 经过2年,剩留量是y=0.842; . 经过x年,剩留量是y=0.84x,例4：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).,方法一 根据函数关系式列表,描点画出函数图像,从图中观察,y=0.5时对应的 x=4,例4：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).,方法二 依题意得0.84x=0.5,用科学计算器计算得,即约经过4年,该物质的剩留量是原来的一半.,练习： 一、利用对数的换底公式化简下列各式,五、小结,1.换底公式：,2.推论：,
