1、第2课时空间向量与空间角,学习导航学习目标重点难点重点：利用空间向量求线线、线面、面面所成的角难点：确定二面角的大小(是锐角不是钝角),空间中的角,|cosa,b|,|cosa，n|,|cosn1，n2|,0，,想一想1.异面直线所成的角是否等于它们的方向向量所成的角？提示：不一定若方向向量所成角小于等于90，则相等；若方向向量所成角大于90，则不相等,2.直线与平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？提示：不一定,(2011高考北京卷改编)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.,(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与
2、AC所成角的余弦值【解】(1)证明：因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD.所以BD平面PAC.,【名师点评】利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与0的大小,确定向量夹角的范围;(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角,变式训练1.四棱锥PABCD中,PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60.在四边形ABCD中,ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P
3、的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值,如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC,ACBCCC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点(1)求证：MN平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小,【解】(1)证明：根据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBCCC1a，,【思路点拨】建系求相关点坐标求相关向量坐标向量运算结论【解】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.,又DQDCD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，
4、所以平面PQC平面DCQ.(6分)名师微博利用判定定理易忽视点.,名师微博本题得分点，计算时可要细心.,【名师点评】利用法向量求二面角的步骤为：(1)确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来,变式训练,解：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，可证DCPB，作AEPB于E，,1.已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值；(3)二面角C1
5、DBB1的正切值,2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90,ABACAA11，延长A1C1至点P，使C1PA1C1，连接AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值,解：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1,0)，B(1，0，1)，P(0，2，0),方法技巧1.利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握,2.利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系,失误防范,求二面角时，应根据图形判断为钝角还是锐角，从而求出(或三角函数值),本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
