1、23数学归纳法,学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,知能优化训练,课前自主学案,23,课堂互动讲练,课前自主学案,归纳推理的一般步骤(1)实验、观察:通过观察_发现某些相同性质(2)概括、推广:从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠(3)猜测一般性结论:通过实例去分析、归纳问题的一般性命题,个别事物,1数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_时命题成立;(2)(归纳递推)假设_时命题成立,证明当_时命
2、题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有_都成立上述证明方法叫做_,nk1,正整数n,数学归纳法,n0(n0N*),nk(kn0,kN*),2用框图表示数学归纳法的步骤,数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系?提示:第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,课堂互动讲练,用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由nk到nk1时,等式两边会增加多少项,【思路点拨】,所以nk1时,等式也成立由(1)(2)可得,对一切nN*,等式成立【思维总结】运用数学
3、归纳法证明等式问题应注意当nk1时添加了哪些项,并明确要证明的目标,以便分析思路,便于入手,变式训练1用数学归纳法证明:135(2n3)(2n1)(2n3)5312n22n1(nN*)证明:(1)当n1时,左边1,右边1,等式成立;(2)假设nk(k1,kN*)时等式成立,即135(2k3)(2k1)(2k3)5312k22k1,,则nk1时,左边135(2k3)(2k1)(2k1)(2k1)(2k3)5312k22k1(2k1)(2k1)2k22k12(k1)22(k1)1,nk1时,等式成立,由(1)(2)知,等式对任何nN*都成立,(1)在利用数学归纳法证明不等式时,除直接应用不等式性质
4、证明外,还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、综合法、放缩法等(2)在由假设nk时成立,证明nk1成立时,一定要注意项的变化,所以当nk1时,不等式也成立综上所述,对任意n2的正整数,不等式都成立,变式训练2求证:如果x是实数,x1且x0,n为大于1的自然数,那么(1x)n1nx.,证明:(1)当n2时,左边(1x)212xx2,右边12x,因为x0,所以不等式成立(2)假设当nk时不等式成立,即(1x)k1kx.那么当nk1时,左边(1x)k1(1x)k(1x),因为x1,所以上式(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x.所以当nk1时,不等式成立由(1)(2)及数学归纳法
5、可知原不等式成立,用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k1个时,所证的几何量将增加多少,还需用到几何知识或借助于几何图形来分析,实在分析不出来的情况下,将nk1和nk分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧,【思路点拨】找到从nk到nk1增加的交点的个数是解决本题的关键,【思维总结】用数学归纳法证明几何问题时一要注意数形结合,二要注意有必要的文字说明,“归纳猜想证明”的问题是探索性命题,它是通过对特殊情况的观察归纳猜想证明这一完整的思路过程去探索和发现问题并证明所猜结论的正确性,这种方法更适用于已知数
6、列的递推公式求通项公式,【思维总结】由已知求出数列的前几项,做出猜想,然后再用数学归纳法证明,用不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法,证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak1或Sk与Sk1之间的关系,使命题得证,变式训练3已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2,nN*)(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明an的通项公式解:(1)a2S1a15,a3S2a1a210,a4S3a1a2a3551020,猜想an52n2(n2,nN*),方法技巧运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点:(1)两个步骤缺一不可(2)在第一
7、步中,n的初始值不一定从1取起,也不一定只取一个数(有时需取nn0,n01等),证明时应视具体情况而定,(3)第二步中,证明nk1时,必须使用假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效(4)证明nk1成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出假设里给出的形式,以便使用假设,然后再去凑出当nk1时的结论,这样就能有效减少论证的盲目性数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理:任何一个正整数集A,若1A;由kA可推出k1A,则A含有所有的正整数,失误防范1数学归纳法第一步验证的是nn0时命题是否成立,不一定是n1,因为有时n0不一定为1.2对项数估算的错误,特别是寻找nk与nk1的关系时,项数发生变化而弄错3归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了,知能优化训练,本部分内容讲解结束,点此进入课件目录,按ESC键退出全屏播放,谢谢使用,