1、3.3.2 利用导数研究函数的极值,f (x)0,f (x)0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内f/（x）0 得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f/（x）0 右侧 f/(x)0).,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,练习1:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.,例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2
2、)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k-1成立的充要条件 .,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.,由于当x0时, 故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10对一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为 4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,解:,由题意, 应有
3、根 ,故5a=3b,于是:,(1)设a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)设a2时, ;当 x2,由条件可知 ,即:,当 时,x20,故 有不相等的两实根、,设.,又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在的右正左负,在的左正右负.,注意到 与g(x)的符号相同,可知为极小值点,为极大值点.,(2)由f()=-1和f()=1可得:,两式相加,并注意到+=-2b/a,于是有:,从而方程 可化为x2=1,它的两根为+1和-1,即=-1,=1.,由,故所求的值为a=2,b=0.,关注用导数本质及其几何意义解决问题,3.思考： 观察下图，当t=t0时距水面的高度最大,那么函数 h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？,
