1、12排列与组合,计数原理,1.2.2组合(二),利用组合数公式解决有限制条件的组合问题及均匀分组问题,基础梳理,1对于有限制条件的组合问题，限制条件应该优先考虑例如：某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学参加课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(1)无任何限制条件：_；(2)正、副班长必须入选：_；,(3)正、副班长只有一人入选：_；(4)正、副班长都不入选：_；(5)正、副班长至少有一人入选： _；(6)正、副班长至多有一人入选： _.2均匀分组问题例如：4本不同的书平均分给2人，共有_种分法,6,自测自评,1将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信
2、封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种B18种C36种D54种,解析：先从3个信封中选一个放1,2，有3种不同的选法，再从剩下的4个号中选两个放入一个信封有 6(种)，余下的放入最后一个信封，共有3 18(种),答案：B,2从4台甲型和5台乙型电视机任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有()A140种 B84种 C70种 D35种3北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有_种不同的送法,答案：10,C,4一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有_
3、种,答案：60,简单的综合应用题,在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从中任意抽出3件检查(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？分析：由于抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题，其中：,(1)不同的抽法，即为C3100；(2)直接分步法；(3)直接分类法或间接法,点评：有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”与“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是
4、直接分类法，但要注意分类要细、要全；二是间接法，要注意找准对立面，确保不重不漏,跟踪练习,1某大学要从16名大学生(其中男生10人，女生6人)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的选法？(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的选法？(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的选法？,有限制条件的组合问题,某班共有50名学生，从中选3人参加书法比赛(1)正班长必须参加的选法有多少种？(2)正班长不能参加的选法有多少种？(3)正、副班长只有一个人参加的选法有多少种？(4)正、副班长都参加的选法有多少种？,跟踪练习,2高一、高二、高三三个
5、年级共30个班，每个年级10个班，每班有一支球队现举行篮球比赛首先每个年级中各队进行单循环比赛，然后将各年级的前3名集中起来进行第二轮比赛在第二轮比赛中，除了在第一轮中已经赛过的两队外，每队要和其他队赛一场，那么先后共比赛多少场？分析：两轮比赛的场次，可按每轮比寒的场次来求解但第二轮中，特殊条件是第一轮比赛中赛过的，不再打比赛，应用加法原理，比较难考虑，分类层次难掌握，这时可考虑间接法，即把问题变成无限制条件，减去不符合条件的就是符合条件的,几何问题中的组合问题,(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？,跟踪练习,3四面体的一个顶点为
6、A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？,解析：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3 种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，与顶点A共面三点的取法有3 333(种),分堆问题与分配问题,有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生，2名女医生到5个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方案? 分析：男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决.,解析：法一：分两类.第一类：甲被选，有C25C24C14A44种
7、分派方法；第二类：甲不被选，有C35C24A55种分派方法.根据分类计数原理，共有C25C24C14A44+C35C24A55=5 760+7 200=12 960（种）.法二：分两类.第一类：地区A分派女医生，有C14C13C14A36种；第二类：地区A分派男医生但医生甲不到地区A，有C15C25C24A44种.根据分类计数原理，共有C14C13C14A36+C15C25C24A44=12 960（种）.,点评：本题中不仅要选出5名医生（元素），还要求分配到5个地区（空位），因此是一道“既选又排”的排列组合综合问题.解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则
8、.若是选出5人而没有分派到各地巡回医疗，将是“只选不排”即组合问题，二者是有区别的.,跟踪练习,42名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_种,解析：分两步完成，由学校去选人第一步：第一所学校从中选1名医生和2名护士，共有 12(种)；第二步：剩下的医生和护士到第二所学校有 1(种)所以共有N12112(种),答案：12,1从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()A40个B120个C360个D720个,解析： 40(个),答案：A,2从编号为1,2,3,4的四种不同的种子中
9、选出3种，在3块不同的土地上试种，每块地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有()A24种 B18种 C12种 D96种,解析： 18(种),答案：B,3(2011年深圳二模)学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有()A24种 B36种 C48种 D60种,C,4. 若m，nN*且m+n8，则平面上的点（m,n）共有（）A. 21个 B. 20个 C. 28个 D. 30个,C,5假设200件产品中有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品
10、的抽法有(),答案：B,7某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有_种不同的选修方案(用数字作答),答案：75,6正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有_个.,32,8已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，则这九个点最多能确定：(1)多少个平面？(2)多少个四面体？,分析：(1)空间中不共线的三点确定一个平面(2)空间中不共面的四点确定一个四面体,解析：(1)可分三类：第一类：平面M中取一点，N中取两点，最多可确定 个；第二类：平面M中取两点，N中取一点，最多可确定 个；,910双互不相同的鞋子混装在一只
11、口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有两只成双，另两只不成双,10平面上有9个红点，5个黄点，其中有2个红点和2个黄点在同一条直线上，其余再无三点共线以这些点为顶点作三角形，其中三顶点颜色不完全相同的三角形有多少个？,11甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A6种 B12种 C24种 D30种,答案：C,1组合应用题的解法(1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：判断；转化；求值；作答(2)有限制条件的组合应用题的解法常用方法有：直接法、间接法可将条件视为特殊元素或特殊位置一般地，按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类2排列组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时要注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类,3解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题捆绑处理的策略；(4)不相邻问题插空处理的策略；(5)定序问题除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(7)平均分组问题除法处理的策略；(8)构造模型的策略.,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
