1、1.2基本不等式,1.了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值.2.理解定理1和定理2(基本不等式).3.探索并了解三个正数的算术几何平均值不等式的证明过程.4.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题.,1.定理1设a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.,2.定理2(基本不等式或平均值不等式),(3)基本不等式可用语言叙述为:两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.,【做一做2-1】 下列不等式中正确的是(),答案:D,答案:4,3.定理3(三个正数的算术几何平均值不等式或平均值不等式),(3)定理3可用语言叙述为三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均
2、值.,【做一做3】 已知x,y,z是正数,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是()A.(-,lg 6B.(-,3lg 2C.lg 6,+)D.3lg 2,+)解析:x,y,z是正数,lg x+lg y+lg z=lg xyzlg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.答案:B,4.定理4(一般形式的算术几何平均值不等式),答案:4,1.三个或三个以上正数的算术几何平均值不等式的应用条件是什么?剖析:“一正”:不论是三个数的平均值不等式或者n个数的平均值 “二定”:包含两类求最值问题:一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+an为定值),求其积a1a2a
3、n的最大值;二是已知乘积a1a2an为定值,求其和a1+a2+an的最小值.“三相等”:等号成立的条件是a1=a2=a3=an,不能只是其中一部分值相等.,2.如何使用基本不等式中的变形与拼凑方法?剖析:为了使用基本不等式求最值(或范围等),往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构,有时一个数拆成两个或两个以上的数,题型一,题型二,题型三,题型四,利用基本不等式比较大小,分析:解答本题应充分利用基本不等式及其变形,不等式的性质.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型四,题型三,利用基本不等式求最值,分析:根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的
4、条件.,题型一,题型二,题型四,题型三,题型一,题型二,题型四,题型三,题型一,题型二,题型四,题型三,(5)y=x(1-x2),y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2) 1 2 .2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,反思利用基本不等式解题时要注意考察“三要素”:(1)函数中的相关项必须都是正数;(2)变形后各项的和或积有一个必须是常数;(3)当且仅当各项相等时,才能取到等号,可简化为“一正二定三相等”.求函数的最值时,常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形,使其满足条件,进而求出最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,基本不等式的实际应用【例3】 某国际化妆品
5、生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2016年第31届夏季奥林匹克运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.(1)将2016年的利润y(单位:万元)表示为促销费t(单位:万元)的函数;(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?,题型一,题型二
6、,题型三,题型四,分析:表示出题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系列出函数表达式,再应用不等式求最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步:阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题方向.建立数学模型:根据中的分析,把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学
7、模型的对应关系,以便确立下一步的努力方向.讨论不等关系:根据题目要求和中建立起来的数学模型,讨论与结论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.得出问题结论:根据中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问题的结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析易错点:利用基本不等式求最值时,应注意不等式成立的条件,即变量为正实数,和或积为定值,等号成立,三者缺一不可.,题型一,题型二,题型三,题型四,1 2 3 4 5,1下列函数中,最小值为2的是(),答案:D,1 2 3 4 5,答案:C,1 2 3 4 5,A.3B.4C.5D.6,答案:A,1 2 3 4 5,4周长为l的矩形的面积的最大值为,对角线长的最小值为.,1 2 3 4 5,
