1、2.2直接证明与间接证明,2.2.1综合法和分析法,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,3,1.直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.2.综合法(顺推证法或由因导果法)(1)综合法一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.(2)综合法的思维过程用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可表示如下:,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流11.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法. (
2、)(2)综合法证明的依据是三段论. ()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件. (),答案:(1)(2)(3),目标导航,预习导引,1,2,3,2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则b的值为.(2)在不等式“a2+b22ab”的证明中:因为a2+b2-2ab=(a-b)20所以a2+b22ab,该证明用的方法是.,答案:(1)0(2)综合法,目标导航,预习导引,1,2,3,3.分析法(逆推证法或执果索因法)(1)分析法一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条
3、件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法.(2)分析法的思维过程用Q表示要证明的结论,则分析法可表示如下:,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流21.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)分析法就是从结论推向已知. ()(2)分析法的推理过程要比综合法优越. ()(3)所有证明的题目均可使用分析法证明. (),答案:(1)(2)(3),一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一、综合法 (1)综合法是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法(与分析法恰恰相反),即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,
4、最后导出所要求证的命题结论的真实性.简言之,综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.(2)应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出一系列的命题(或判断),其中每一个都是真实的(但它们不一定都是所需求的),且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论,命题得证.同分析法一样,并非一上来就能找到通往命题结论的思路,只有在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应
5、用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,1.如图,S为ABC所在平面外的一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC,求证:ABBC.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,证明:作AESB于点E.,平面SAB平面SBC,平面SAB平面SBC=SB,AE平面SBC.AEBC.SA平面ABC,BC在平面ABC内,SABC.又SAAE=A,BC平面SAB.AB在平面SAB内,ABBC.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,二、分析法 (1)分析法是数学中常用到的一
6、种直接证明的方法.它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体说,即先假设所要证明命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断.它是一种执果索因的证明方法.这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.(2)应用分析法时,并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断(或命题)都正确,各推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系,因而需要从这些关系中逐个考查,逐个思索,逐个分析,逐个判断,在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件),才知道前面各步推理适当与否,从而找出证明的路子.(3)当不知从何入手时,有
7、时可以运用分析法去获得解析,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效,另外对于恒等式的证明,也同样可以运用.(4)书写形式:要证,只需证,即证,然后得到一个明显成立的条件,所以结论成立.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例2】 (1)如图,在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PH底面ABC于点H.求证:H是ABC的垂心.,思路分析:(1)要证H是ABC的垂心,即证AH与BC垂直,且BH与AC垂直,但是这两种垂直关系不易证明,故可用分析法处理.(2)由于条件和结论之间的联系不明确,可用分析法证明.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,证明:(1)要证H
8、是ABC的垂心,只需证BCAH,且ACHB,只需证BC平面PHA,且AC平面PHB,只需证BCPH,且BCPA,ACPH,且ACPB.因为PH底面ABC,所以PHBC,PHAC成立.故只需证BCPA,且ACPB即可,只需证PA平面PBC,PB平面PAC,只需证PAPB,且PAPC,PBPA,且PBPC.因为PA,PB,PC两两垂直,上式显然成立,所以原结论成立,即H是ABC的垂心.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,从图中可以看出,逆向书写分析过程,同样可以完成
9、证明,这就是综合法.由此使我们想到,用分析法探路,用综合法书写,也是一种很好的思维方式.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,2.分析综合法分析法与综合法是两种思路相反的推理方法,分析法是倒溯,综合法是顺推.因此常将二者交互使用,互补优缺点,从而形成分析综合法,其证明模式可用框图表示如下:,中P表示已知条件、定义、定理、公理等,Q表示可证明的结论.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例3】 在某两个正数x,y之间插入一个数a,使x,a,y成等差数列,插入两数b,c,使x,b,c,y成等比数列,求证:(a+1)2(b+1)(c+1).,思路分析:前半部分从已知出发采用综合法得到a
10、,b,c之间的关系式,后半部分用分析法反推,然后再与该关系式结合,找到使结论成立的充分条件即可.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,案例探究,思悟升华,创新点拨,案例探究,思悟升华,创新点拨,案例探究,创新点拨,思悟升华,(1)本题是在题设情境上进行创新,定义新概念“x比y远离m”.(2)注意新知识的接受、迁移能力,是对再学习能力的很好考查,并考查绝对值不等式的解法及不等式的证明.,案例探究,创新点拨,思悟升华,(1)认真审题,吃透概念,抓住“x比y远离m”,建立不等式.(2)“万变不离其宗”,增强自信,平时强化迁移能力的培养,善于把“新概念”“新运算”转化为我们熟悉的“旧概念”“旧运算”,并严格按照规定进行操作.,
