1、1.7定积分的简单应用,第一章导数及其应用,学习导航学习目标重点难点重点:应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功.难点:将实际问题转化为定积分问题.,连续,恒有f(x)0,yf(x),曲边梯形,做一做答案:C,2.定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分,即_.,(2)一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位:m),则力F所做的功为_;而若是变力所做的功W,等于其力函数F(x)在位移区间a,b上的定积分,即_.,WFs,做一做2.一物体在力F(x
2、)2x1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x0处运动到x3处(单位:m),所做的功为_.答案:12 J,题型一不必分割的图形的面积求解 求两抛物线y8x2,yx2所围成的图形的面积.,变式训练1.求yx2与yx2围成图形的面积S.,题型二需分割的图形的面积求解 求抛物线y22x与直线y4x围成的平面图形的面积.,【名师点评】由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,将积分区间进一步划分,然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减下;若积分变量选取x运算较为复杂,可以选y
3、为积分变量,同时更改积分的上、下限.,变式训练2.求由曲线yx2和直线yx及y2x所围成的平面图形的面积.,题型三变速直线运动的路程及位移的求解 (本题满分12分)有一动点P沿x轴运动,在时间t的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求(1)P从原点出发,当t3时,离开原点的路程;(2)当t5时,P点的位置;,(3)从t0到t5时,点P经过的路程;(4)P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值.【思路点拨】首先要确定的是所要求的是路程还是位移,然后用相应的方法求解.,【解】(1)由v(t)8t2t20,得0t4,即当0t4时,P点向x轴正方向运动,t4时,P点向x轴负方
4、向运动.故t3时,点P离开原点的路程,变式训练3.一质点A以速度v1(t)3t21(m/s)在直线l上运动,另一质点B以速度v2(t)10t(m/s)也在直线l上运动,若两质点同时同地出发并同向运动,求经过多少时间,质点A比质点B多运动5 m?,题型四变力做功的求解 设有一根长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.,【名师点评】解决变力做功注意以下两个方面:(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键的一步.(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题.,1.求由曲线xy1及直线xy,y3所围成平面图形的面积.,2.(2012深圳质检)如图所示,一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B,C运动到D,其中AB50 m,BC40 m,CD30 m,方法技巧,失误防范1.利用定积分求平面图形的面积积分变量不一定是x,有时换成y,问题反而会更方便解决,如例2法二.2.在变力做功时,不限定F(x)为非负数,这样求出来的定积分可能为负数.当定积分为负数时,说明变力做负功.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
