1、1.柱、锥、台体的体积(1)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,底面积为S,高为h,则其体积V长方体=abc=Sh.(2)设下底面积为S,上底面积为S,高为h.,交流1由于V锥体= Sh,那么三棱锥的任何一个面都可以作底面吗?答案：可以.如图,设三棱锥D-ABC中,垂直于平面ABC、平面ABD、平面BCD、平面ADC的高分别为h1,h2,h3,h4,2.球的表面积与体积公式,交流2球的体积与表面积是关于球半径的函数吗?答案：是.从球的体积与表面积公式看,V球与S球面的大小只与球的半径R相关,给定一个R,都有惟一确定的V球与S球面与之对应,故球体积与表面积是关于球半径R的函数.,交流3(1)半
2、径为2的球的表面积S=,体积V=.(2)球的半径缩小为原来的 倍,则球的表面积缩小为原来的倍,球的体积缩小为原来的倍.,典例导学,一,二,三,即时检测,一、求柱体、锥体的体积一空间几何体的三视图如图所示,求该几何体的体积.,典例导学,一,二,三,即时检测,思路分析：根据几何体的三视图可以还原出实物图,画出该几何体的直观图,并利用相应的体积公式求出其体积.解：由三视图可知该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体,如图所示.,典例导学,一,二,三,即时检测,1.一圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240,则该圆锥的体积为.,典例导学,一,二,三,即时检测,2.已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为 ,求
3、这个三棱锥的体积. (导学号51800051)解：如图所示,在正三棱锥S-ABC中,设H为ABC的中心,连结SH,则SH即为该正三棱锥的高.连结AH并延长交BC于E,则E为BC的中点,且AEBC.因为ABC是边长为6的正三角形,典例导学,一,二,三,即时检测,1.求柱体的体积关键是求其底面积和高,底面积利用平面图形面积的求法,常转化为三角形或四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形,进而求解.2.求棱锥的体积关键在于求棱锥的底面积和高,求高时,往往需用到线面垂直的判定方法,因为棱锥的高实际上是从顶点向底面所作垂线段的长度.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、求台体的体积在四边形
4、ABCD中,各顶点坐标分别为A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),将此四边形绕y轴旋转一周.求所得旋转体的体积.思路分析：该旋转体的上方是一个圆锥,下方是一个圆台,根据点B,C,D的坐标可以求出底面半径、高等关键量.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,1.圆台的上、下底面半径和高的比为144,母线长为10,则圆台的体积为.解析：画出轴截面如图,设上、下底面半径和高分别为r,4r,4r,则母线长5r=10,r=2,即圆台的高为8,上、下底面半径分别为2,8.V= 8(22+82+28)=224.答案：224,典例导学,即时检测,一,二,三,2.正四
5、棱台两底面边长为20 cm和10 cm,侧面积为780 cm2,求其体积. (导学号51800052)解：如图所示,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10 cm,AB=20 cm.取A1B1的中点E1,AB的中点E,连结E1E,则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1,O分别是上,下底面的中心,则四边形EOO1E1是直角梯形.,典例导学,即时检测,一,二,三,在多面体和旋转体中的有关计算,通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算.对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形,即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的射影构成的直角三角形,或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的射影构成
6、的三角形;对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形;在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、球的体积与表面积已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积;(2)球的表面积等于圆柱表面积的 ;(3)球的体积等于圆柱体积的 .思路分析：由已知可得圆柱的高、底面半径与球半径的关系,然后再用球半径分别表示出球的表面积、体积、圆柱的侧面积、表面积、体积,最后作比证明.,典例导学,即时检测,一,二,三,证明：(1)如图所示,设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,于是S球=4R2,S圆柱侧=2R2R=4R2.
7、故S球=S圆柱侧.(2)S圆柱表=4R2+2R2=6R2,S球=4R2,典例导学,即时检测,一,二,三,1.(2016浙江杭州重点中学高二联考)已知长方体的三边长分别是3,4,5,则它的外接球的表面积是.解析：长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3,4,5,长方体的对角线长为长方体的对角线长恰好是外接球的直径,球半径为可得球的表面积为4R2=50.答案：50,典例导学,即时检测,一,二,三,2.已知正四面体的棱长为a,四个顶点都在同一个球面上,试求这个球的表面积和体积. (导学号51800053),典例导学,即时检测,一,二,三,球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关
8、,因此,在解决此类问题时,要充分利用球的半径表示出有关量,找出量与量之间的关系.计算球的体积与表面积关键是利用已知条件求出球的半径.经常运用球截面性质求球半径.对于几何体与球相切或相接问题,要利用过球心与切接点的截面来展现它们之间的相互关系,从而把空间问题转化为平面问题来解决.,典例导学,1,2,3,4,5,即时检测,1.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是(),答案：A,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,2.正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是60,侧棱长为a,则它的体积是.解析：如图,设ABCD的中心为O,由条件知AB=BC=CD=DA=a.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,3.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.解析：设球的半径为r,则由题意得6rr2=8r2+3 r3,解得r=4.答案：4,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,4.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,5.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,求此三棱锥的体积. (导学号51800054),
