1、第3章3.1 空间向量及其运算,3.1.2共面向量定理,1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一共面向量,答案,叫做共面向量.,能平移到同一平面内的向量化,知识点二共面向量定理,如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是_，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示.,存在有序实数组(x，y)，使得pxayb,.,C、D共面,答案,知识点三空间四点共面的条件,若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、,且x、y、z满足xyz1
2、，则,A、B、,思考1.空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？,答案一定共面，反之不成立.,2.空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？,答案空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量基本定理.,返回,例1已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足,题型探究 重点突破,题型一应用共面向量定理证明点共面,解析答案,(2)判断点M是否在平面ABC内.,解析答案,反思与感悟,M、A、B、C共面.即点M在平面ABC内.,利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面.,反思与感悟,解析答案,A、
3、B、C、D四点共面.,例2 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1平面C1BD.,题型二应用共面向量定理证明线面平行,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1平面C1BD.,在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化.要熟悉其证明过程和证明步骤.,反思与感悟,解析答案,求证：MN平面ABB1A1.,(1k)akc.又a与c不共线.,又MN不在平面ABB1A1内，MN平面ABB1A1.,例3如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，
4、H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.,题型三向量共线、共面的综合应用,解析答案,反思与感悟,解分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM.,解析答案,E，F，G，H分别是所在三角形的重心，,由题意知四边形MNQR是平行四边形，,反思与感悟,由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.,反思与感悟,利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.,反思与感悟,解析答案,求证：(
5、1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；,解析答案,返回,解析答案,当堂检测,1,2,3,4,5,1.设a，b是两个不共线的向量，R，若ab0，则_，_.,解析答案,解析a，b是两个不共线的向量，a0，b0，0.,0,0,1,2,3,4,5,2.给出下列几个命题：向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若ab，则存在惟一的实数，使ab.其中真命题的个数为_.,解析假命题.三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题.这是关于零向量的方向的规定；假命题.当b0时，则有无数多个使之成立.,1,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3
6、,4,5,4.下列命题中，正确命题的个数为_.若ab，则a与b方向相同或相反；,若a，b不共线，则空间任一向量pab(，R).,解析当a，b中有零向量时，不正确；,0,解析答案,由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足pab(，R)，故不正确.,1,2,3,4,5,5.空间的任意三个向量a，b,3a2b，它们一定是_.,解析答案,解析如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a2b共面；若a，b共线，则a，b,3a2b共线，当然也共面.,共面向量,课堂小结,共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面.(2)空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得,此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理， 实质就是面MAB内平面向量的一组基底.,返回,、均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用.,
