1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,1.杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数_.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的_，即,相等,和,2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“_”的两个二项式系数相等(即 ).(2)增减性与最大值：当k_时，二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项_取得最大值；当n是奇数时，中间两项 相等，同时取得最大值.,等距离,(3)各二项式系数的和：,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.(
2、 )(2)二项式展开式的二项式系数和为 .( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( ),【解析】(1)正确.设a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，若令bn=an-1-an，则b1=2，b2=3，b3=4，所以可得bn是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差成一个等差数列.(2)错误.二项式展开式的二项式系数和为 ,此处漏掉了 .(3)错误.展开式中系数最大项与二项式系数最大项不一定相同,根据各项系数正、负的变化情况判断，只有当二项式系数与各项系数相等时,二者一致.答案：(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1) 的展开式中二项式系数最大的项是第_
3、项(2)如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为_.(3)已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5，若a2=80，则a0+a1+a2+a5=_.,【解析】(1)由n=11为奇数，则展开式中第 项和第项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.答案：6和7(2)由1，3，5，7，9，可知它们成等差数列，所以an=2n-1.答案：2n-1(3)展开式的通项为 令r=2，则a2 所以a=2.则(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5，令x=1，得a0+a1+a5=1.答案：1,【要点探究】知识点 杨辉三角与二项式系数的性质1.解决与杨辉三角有关的问题的注意事项(1)
4、通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解.(2)注意二项式系数性质 的应用.,2.对二项式系数性质的三点说明(1)对称性：源于组合数的性质“ ”，基础是 然后从两端向中间靠拢，便有 ，.(2)最大值：当n是偶数时，(a+b)n的展开式共n+1项，n+1是奇数，这时展开式的形式是,中间一项是第 +1项，它的二项式系数是 ，它是所有二项式系数中的最大值；当n是奇数时，(a+b)n的展开式共有n+1项，n+1是偶数，这时展开式的形式是中间两项是第 项，它们的二项式系数是这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.,(
5、3)各二项式系数和： 源于(a+b)n= 中令a=1，b=1，即得到,【知识拓展】杨辉三角的另外两个性质(1)杨辉三角的第2n-1行各个数都是奇数.(2)如图第n条横线与第n+1条横线数字之和等于第n+2条横线上数字之和.,【微思考】(1)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示：不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n+1行对应数值相等.(2)杨辉三角有什么作用？提示：利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数.,(3)令f(k)= ，k0,1,2，n，则直
6、线k= 将函数f(k)的图象分成对称的两部分，即直线k= 是图象的对称轴，由此我们得到结论：当k= 时， 最大，这个结论正确吗？提示：不正确.当n是偶数时， 最大；当n是奇数时，最大.,【即时练】1.(1+x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项的项数是( )A.n，n+1 B.n-1，nC.n+1，n+2 D.n+2，n+3【解析】选C.(1+x)2n+1展开式有2n+2项.系数最大的项是中间两项，是第n+1项与第n+2项，它们的二项式系数为 与,2.如图所示，满足第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n2)的第2个数是_.【解析】由图中数字规律可知，第n行的第2个数
7、是答案：,【题型示范】类型一 与杨辉三角有关的问题【典例1】(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A.第6行 B.第7行 C.第8行 D.第9行,(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A.144 B.146 C.164 D.461,【解题探究】1.题(1)中据杨辉三角的特性，能否写出第6行的数是什么？2.据杨辉三角与二项式系数的性质知，S1与S2分别为什么？用组合数如何表示？【探究提示】1.第6行的数依次为1 6
8、15 20 15 6 1.,【自主解答】(1)选B.由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.(2)选C.由题干图知，数列中的首项是 ，第2项是 ，第3项是 ，第4项是 ，第15项是 ，第16项是 .所以,【方法技巧】解决与杨辉三角有关的问题的一般思路,【变式训练】在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第_行会出现三个相邻的数，其比为345.,【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项 有 且 .化简得 联立解得k=2
9、7，n=62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.答案：62,【补偿训练】(2014咸宁高二检测)请观察“杨辉三角”图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是( )A.58 B.70 C.84 D.126,【解析】选B.第一行有1个数，第二行有2个数，那么第9行就有9个数，偶数行中间的两个数是相等的.第九行正中间的数应是第九行的第5个数.应该等于第8行第4个数+第8行第5个数=2第8行第4个数=2(第7行第3个数+第7行第4个数)=2(第6行第2个数+第6行第3个数)+(第6行第3个数+第6行第4个数)=2第6行第2个数+2第6行第3个数+第6行第4个数=2(第5
10、行第1个数+第5行第2个数)+2(第5行第2个数+第5行第3个数)+(第5行第3个数+第5行第4个数)=2(1+4)+2(4+6)+6+4=70.,类型二 二项式系数和的问题【典例2】(1)(2014琼海高二检测)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a10(1-x)10，则a8=( )A.180 B.90 C.-5 D.5(2)(2014洛阳高二检测) 的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2项的系数为_.,(3)(2014重庆高二检测)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求：a1+a2+a7；a1+a3+a5+a7；a0+a2+a4+a6.,
11、【解题探究】1.题(1)中如何构造关于(1-x)的二项式？2.题(2)中二项式展开式中各项系数之和与x的取值有何关系?3.如何求二项展开式系数和或部分系数和?,【探究提示】1.将(1+x)等价转化为2-(1-x)，即可用二项式定理展开.2.当x=1时,展开式左边的值即为各项系数的和.3.求二项展开式系数和或部分系数和时,通常利用赋值法,如:求(a+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn中各项系数和,可令x=1,即得各项系数和.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和,可分别令x=1,x=-1,两等式相加或相减即可求出结果.,【自主解答】(1)选A. (1+x)10=2-(1-x)10，其通项
12、公式为： ，a8是r=8时，第9项的系数.所以(2)依题意令x=1，得3n=729，则n=6，二项式 的展开式的通项是令 =2，得r=3.因此，在该二项式的展开式中x2项的系数是 =160.答案：160,(3)令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1，令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.因为a0= =1，所以a1+a2+a3+a7=-2.a1+a3+a5+a7= =-1 094.a0+a2+a4+a6= =1 093.,【延伸探究】题(3)条件不变，求|a0|+|a1|+|a2|+|a7|的值.【解析】因为(1-2x)7展开式中，a0，a
13、2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7).所以由即可得其值为2 187.,【方法技巧】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n,(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可,(2)一般地，若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4=偶数项系数之和为a1a3a5=
14、,【变式训练】设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11，则a0+a1+a2+a11的值为_.【解题指南】观察等式的结构特点，令x=-1即可.【解析】令x=-1，则原式化为(-1)2+12(-1)+19=-2=a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+a11(2-1)11，所以a0+a1+a2+a11=-2.答案：-2,【补偿训练】若则(a0+a2+a4+a2 014)2-(a1+a3+a5+a2 013)2=_.【解析】令f(x)=( +2x)2 014，则a0+a1+a2+a2 014=f(1)，a0-a1+a2-+a2 014=f(-1)，,
15、所以(a0+a2+a4+a2 014)2-(a1+a3+a5+a2 013)2=(a0+a2+a4+a2 014)+(a1+a3+a5+a2 013)(a0+a2+a4+a2 014)-(a1+a3+a5+a2 013)=f(1)f(-1)=(-1)2 014=1.答案：1,类型三 二项式系数的综合应用【典例3】(1)(1-2x)7展开式中，系数最大的项为_.(2)在(3x-2y)20的展开式中，求：二项式系数最大的项；系数绝对值最大的项；系数最大的项.,【解题探究】1.题(1)中的系数是否都为正数？正数的项都有哪些？2.求形如题(2)二项式系数问题的关键是什么？【探究提示】1.不全为正数，正
16、数的项为第1，3，5，7项.2.处理二项式系数问题的关键是利用二项展开式.,【自主解答】(1)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第1,3,5,7这四项中取得.又因(1-2x)7括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需要比较T5和T7两项系数大小即可，所以系数最大的项是第5项，即答案：560x4,(2)二项式系数最大的项是第11项：设系数绝对值最大的项是第r+1项，于是 化简得解得因为rN，所以r=8，即T9= 31228x12y8是系数绝对值最大的项.,由于系数为正的项为奇数项，所以可设第2r-1项系数最大(r1).则即解得r=5，即第25-1=
17、9项系数最大.所以系数最大的项为,【方法技巧】1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.,2.展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1，A2,An，且第r+1项最大，应用 解出r，即得出系数的最大项.,【变式训练】在(x+y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相
18、等，则展开式中系数最大的项是( )A.第6项 B.第5项 C.第5，6项 D.第6，7项【解析】选A.由题意得，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，所以 ，由组合数的性质，得n=10.所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.,【补偿训练】在 的二项展开式中，二项式系数中最大项的项数为( )A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第5或7项【解题指南】直接根据展开式中间项的二项式系数最大得出第6项的二项式系数最大.【解析】选B.展开式中共有11项，据展开式中中间项的二项式系数最大，故第6项的二项式系数最大.故选B.,【规范解答】二项式性质的应用【典例】(12分)(
19、2014临沂高二检测)已知(2x-1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求 的值.,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升失分点1：解题时若误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项.即处不能正确地得到A,B，则会造成后面全错而不得分. 失分点2：解题时若对式子的结构把握不准而在处不能对x正确赋值，即不能正确得到关于n的方程而失分,考试时最多得4分.失分点3：解题时若把 看成二项展开式各项二项式系数和，即在处忽略了 而失分，考试时最多得8分.,【悟题】提措施，导方向1.注意对概念的区分要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,如本例,各项系数其实为x的系数.2.注重对性质的理解二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,如本例中利用性质可确定所求式子的值.,3.赋值法的准确应用求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如本例，正确对x赋值是解题的关键.,【类题试解】求(1+2x)20的展开式中x的奇次方项和x的偶次方项的系数和各是多少？【解析】设x的奇次方项的系数和为A，x的偶次方项的系数和为B，则令x=1，得A+B=320，令x=-1，得B-A=1.所以2B=320+1.所以所以奇次方项系数的和为 ，偶次方项系数的和为,
