1、中国人民大学附属中学,2.4.2抛物线的几何性质,我们根据抛物线的标准方程y2=2px (p0) 来研究它的一些几何性质.,1范围：,因为p0，由方程可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它的开口向右。,2对称性：,以y代替y，方程不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。,3顶点：,抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当x=0时，y=0，因此这条抛物线的顶点坐标就是坐标原点(0，0).,4离心率： 抛物线上的点与焦点和准线的距离
2、的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，按照抛物线的定义，e=1.,例1已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点，且开口向右，又抛物线经过点M(4，2 )，求它的标准方程。,解：根据已知条件，设抛物线的方程为y2=2px (p0).,因此所求的抛物线的方程是y2=3x.,因为点M(4，2 )在抛物线上，所以(2 )2=2p4，即2p=3，,例2汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少？,解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建
3、立直角坐标系xOy，,因为灯口直径|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是(10，12)，,设抛物线的方程是y2=2px (p0).,因为点A(10，12)在抛物线上，得 122=2p10，所以p=7.2，,抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)，因此灯泡与反射镜的顶点的距离是3.6cm.,在平面直角坐标系上，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应的有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程，它们的推导过程类同。,设抛物线的焦点到准线的距离为p (p0)，上述抛物线的方程的四种形式列表如下：,例3求适合下列条件的抛物线的标准方程: （1）过点(3，2)；
4、（2）焦点在直线x2y4=0上。,（1）抛物线分别是y2= x和x2= y；,（2）抛物线分别是y2=16x和x2=8y.,例4正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px (p0)上，求这个正三角形的边长。,解：设正三角形OAB的顶点在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 则y12=2px1，y22=2px2，,又|OA|=|OB|，所以x12+y12= x22+y22， 即(x1+x2)(x1x2)=y22y12=2p(x2x1)，,所以(x1x2)(x1+x2+2p)=0， 由于x1+x2+2p0，所以x1=x2，,由此可知，|y1|=|y2|，即线
5、段AB关于x轴对称,所以x轴垂直于AB，,AOx=30，,所以,因为 x1=,所以y1=2 p，,|AB|=2y1=4 p，,所以这个正三角形的边长为,课堂练习,1抛物线y=x2的焦点坐标是（ ） （A）(0， ) （B）(0， ) （C）( ，0) （D）( ，0),B,2已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程为（ ） （A）x2=12y （B）x2=12y （C）y2=12x （D）y2=12x,A,3已知抛物线的准线方程为x=7，则抛物线的标准方程为（ ） （A）x2=28y （B）y2=28x （C）y2=28x （D）x2=28y,B,4焦点在直线3x4y12=0上的抛
6、物线的标准方程为（ ） （A）x2=16y或y2=12x （B）y2=16x或x2=12y （C）y2=16x或x2=12y （D）x2=16y或y2=12x,C,5抛物线y=ax2（a0)的准线相切，则p= .,2,例过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A, B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，,则AFAD，BFBC,ABAFBFADBC=2EH,
