1、第1章解三角形, 1.3正弦定理、余弦定理的应用(二),1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一三角形常用面积公式及其证明1.公式,答案,abc,答案,2.证明(1)三角形的高的计算公式在ABC中，边BC，CA，AB对应的边长分别为a，b，c，边上的高分别记为ha，hb，hc，则habsin Ccsin B
2、，hbcsin Aasin C，hcasin Bbsin A.借助上述结论，如图，若已知ABC中的边AC，AB，角A，那么AB边上的高CD ，ABC的面积S .,bsin A,答案,(2)三角形的面积与内切圆已知ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则ABC的面积为S .如图，设ABC内切圆圆心为O，连结OA，OB，OC，,答案,又A(0，180)，A60或120.,60或120,答案,(2)在ABC中，A30，AB2，BC1，则ABC的面积等于 .,又C(0，180)，C90，,返回,知识点二多边形的面积对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有
3、关性质及正弦、余弦定理解决.,题型探究 重点突破,解析答案,题型一三角形的面积公式及其应用,解析答案,反思与感悟,(2)求ABC的面积.,求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2，BC6，CDDA4，求四边形ABCD的面积.,解连结BD，如图，则四边形ABCD的面积为SSABDSCDB,AC180，sin Asin C，,在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22AB
4、ADcos A2242224cos A2016cos A.在CDB中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcos C5248cos C.,解析答案,2016cos A5248cos C.,又A(0，180)，A120，,解析答案,反思与感悟,题型二计算平面图形中线段的长度例2某观测站C在城A的南偏西 20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，则该人再走 千米可到达A城.,解析如图，令ACD，CDB，在CBD中，,又sin sin(60)sin cos 60cos s
5、in 60,答案15,反思与感悟,在综合问题中，经常遇到四边形或多边形，这时需要通过适当的辅助线将多边形分割为多个三角形，从而将问题转化为三角形的问题来解决.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2.求：(1)cosCBE的值；解BCD9060150，CBACCD，,解析答案,(2)AE的长度.解在ABE中，AB2，,解析答案,反思与感悟,题型三证明平面几何有关定理例3一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与点B之间，P是此直线外一点，设APC，BPC.求证： .证明SABPSAPCSBPC，,对三角函数中有关公式的
6、灵活运用是解决这类问题的难点，同学们要注意训练自己对基础知识的灵活运用能力和恒等变形能力.,反思与感悟,解析答案,证明如图所示，在ABD中，利用正弦定理，,在CBD中，利用正弦定理，,BD是ABC的角平分线，,ABDCBD，,又ADBCDB180，,sinADBsinCDB，,题型四三角形中的综合问题例4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足S (a2b2c2).(1)求角C的大小；,解析答案,(2)求sin Asin B的最大值.,解析答案,反思与感悟,(1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力.(2)此类
7、问题常以三角形为载体，以正弦、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，但是有时会以向量的知识作为切入点进行破题.,反思与感悟,跟踪训练4已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；证明mn，asin Absin B.,解析答案,a2b2，ab，,ABC为等腰三角形.,解由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理得4a2b2ab(ab)23ab，(ab)23ab40，ab4或1(舍)，,解析答案,返回,当堂检测,1,2,3,4,解析答案,1.已知ABC的内角A，
8、B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab)2c24，C120，则ABC的面积为 .解析将c2a2b22abcos C与(ab)2c24联立，,解析答案,1,2,3,4,2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆直径为 .,b5.,解析答案,1,2,3,4,3.设A是ABC中最小的内角，则sin Acos A的取值范围是 .,A为ABC中最小内角，,解析答案,1,2,3,4,解析在ADC中，AD10，AC14，DC6，,1,2,3,4,课堂小结,返回,1.三角形面积计算的解题思路,(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解.2.与面积有关的三角形综合问题的解决思路.选取适当的面积公式，结合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决.,
