1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：_、_、_.(2)两种研究方法：,相交,相切,相离,相交,相切,相离,相交,相切,相离,2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12 (r10),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20).,dr1+r2,d=r1+r2,无解,一组实数解,|r1-r2|dr1+r2,两组不同的实数解,d=|r1-r2|(r1r2),一组实数解,0d|r1-r2|,(r1r2),无解,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必
2、要不充分条件.( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( ),【解析】(1)错误.当k=1时，圆心到直线的距离 此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 解得 所以，“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件，而非必要不充分条件.（2）错误.因为除外切外，还可能内切.,（3）错误.因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含.（4）错误.只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线
3、方程.答案：(1) (2) (3) (4),1.圆（x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( )(A)相切 (B)相交但直线不过圆心(C)相交过圆心 (D)相离【解析】选B.由题意知圆心（1，-2）到直线2x+y-5=0的距离 且21+(-2)-50,因此该直线与圆相交但不过圆心.,2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+4y=0的位置关系是( )(A)外离 (B)外切 (C)相交 (D)内切【解析】选C.因为两圆的方程可化为（x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4，所以两圆圆心距两圆的半径之差|r1-r2|=2-1=1,半径之和r1+r2=1+2=
4、3.|r1-r2|0)内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆的位置关系是_.【解析】因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)内的一点，所以x02+y020,解得 即k的取值范围为,（2)假设存在常数k，设A(x1,y1),B(x2,y2),则（x1+x2,y1+y2).由方程,得 .又y1+y2=k(x1+x2)+4 ,而P（0，2），Q（6，0），因为,所以 共线等价于-2（x1+x2)=6(y1+y2),即-(x1+x2)=3(y1+y2),将代入上式，解得由（1）知 故不存在符合题意的常数k.,【拓展提升】代数法判断直线与圆的位置关系的步骤(1)将直线方程与圆的方程
5、联立，消去x（或y）得到关于y（或x）的一元二次方程.(2)求上述方程的判别式，并判断其符号.(3)得出结论.,【变式训练】已知圆O：x2+y2=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足 (为参数）.(1)若 求直线l的方程.(2)若2，求直线l的方程.(3)求实数的取值范围.,【解析】(1)当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足，故可设所求直线l的方程为y=k1x+1,代入圆的方程，整理得（1+k12)x2+2k1x-3=0,设A（x1,y1),B(x2,y2),则又利用弦长公式 可求得k1=1，故直线方程为y=x+1或y=-x+1.,（2）当直线l的斜率不存在时
6、， 不满足，故可设所求直线l的方程为y=k2x+1.代入圆的方程，整理得(1+k22)x2+2k2x-3=0,(*)设A（x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程（*）的两根，由 可得x1=-2x2,则有2得 解得所以直线l的方程为,(3)当直线l的斜率不存在时，当直线l的斜率存在时，可设所求直线l的方程为y=k3x+1,代入圆的方程，整理得（1+k32)x2+2k3x-3=0, (*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程（*）的两根,由 可得x1=-x2,则有2得而由 可解得所以实数的取值范围为,考向 3 圆与圆的位置关系【典例3】（1）(2012山东高考）圆(
7、x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( )（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）外离(2)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为则a=_.(3)（2013中山模拟）已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切，则实数m=_.,【思路点拨】(1)利用几何法来判断，即判断两圆的圆心距与两半径和、差的关系.(2)两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形求解.(3)利用两圆外切得两圆圆心距等于两圆半径之和求解.,【规范
8、解答】(1)选B.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心距 两圆半径和为5、差为1，所以 所以两圆相交.(2)两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为（x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=0-4 又a0,结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知答案：1,(3)两圆的标准方程为(x-m)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-m)2=4,圆心分别为C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为3，2.圆C1与圆C2外切，|C1C2|=3+2=5,即： 解得m=-5或2.答案：-5或2,【拓展提升】1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用
9、两圆圆心距与两圆半径和与差的关系，一般不用代数法.2.两圆公切线的条数,【变式训练】两个圆：C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有( )(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条【解析】选B.由题知C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心C1(-1,-1),C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心C2(2,1),两圆半径均为2，又|C1C2|= 则两圆相交只有两条公切线.,【创新体验】直线与圆、圆与圆位置关系的创新命题【典例】（2012江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至
10、少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为_,【思路点拨】,【规范解答】圆C的标准方程为（x-4)2+y2=1,如图，直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y=kx-2的距离不大于2即可.圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离 由题意知整理得3k2-4k0,解得 故答案：,【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想在解题中的应用，即通过数形结合将问题转化为圆心C到直线的距离问题，进而得到关于k的不等式，从而确定出k的范围，得出k的最大值，这种以“以形助解”探究解题思路的思想方法值得
11、我们仔细体会.,2.技巧提升：对于直线与圆、圆与圆位置关系的创新问题，解题的关键是作出符合要求的示意图,通过数形结合将创新信息转化为常规的直线与圆、圆与圆的位置关系，再利用处理直线与圆、圆与圆的位置关系的方法来解决.,1.（2012广东高考）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )【解析】选B.由圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离为d=1,所以,2.（2012陕西高考）已知圆C：x2+y2-4x=0,l是过点P(3，0)的直线,则( )（A）l与C相交 （B）l与C相切（C）l与C相离 （D）以上三个选项均有可能【解析
12、】选A.方法一：圆C的方程是（x-2）2+y2=4，点P到圆心C（2,0）的距离d=12，点P在圆C内部，直线l与圆C相交.,方法二：将点P的坐标代入圆的方程，得：32+02-43=9-12=-30,若AB中有且仅有一个元素，则r的取值集合为( )(A)3 (B)7(C)3，7 (D)2，7,【解析】选C.由已知得圆O：x2+y2=4与圆C：(x-3)2+(y-4)2=r2(r0)相切，而当圆O与圆C外切时，|OC|=r+2=5,得r=3.当圆O与圆C内切时，|OC|=r-2=5,得r=7.综上r=3或7.,2.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相
13、切.（1）求圆的方程.（2）设直线ax-y+5=0(a0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围.（3）在（2）的条件下，是否存在实数a, 使得弦AB的垂直平分线l过点P（-2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.,【解析】（1）设圆心为M（m,0)（mZ).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以 即|4m-29|=25.因为m为整数，故m=1.故所求圆的方程为（x-1)2+y2=25.,（2）把直线ax-y+5=0,即y=ax+5代入圆的方程，消去y整理，得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，故=4(5a-1)2-4(a2+1)0.即12a2-5a0,由于a0,解得所以实数a的取值范围是,(3)设符合条件的实数a存在，由于直线l为弦AB的垂直平分线，且直线AB斜率为a,则直线l的斜率为l的方程为 即x+ay+2-4a=0,由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2-4a=0,解得由于 故存在实数 使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB.,
