1、第四节 基本不等式,1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件是_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号.2.基本不等式的变形(1)a+b _(a,b0).(2)ab _(a,bR).(3)a2+b2_(a,bR).,a0,b0,a=b,2ab,3算术平均数与几何平均数设a0,b0，则a,b的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可以叙述为：两个正数的算术平均数_它们的几何平均数.4利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为正实数，且abM，M为定值，则 等号当且仅当_时成立.简记：和定积最大.,不小于,ab,(2)两个正数的积为定值时，它们的和有
2、最小值，即若a，b为正实数，且abP，P为定值，则ab_，等号当且仅当_时成立.简记：积定和最小.,ab,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)函数 的最小值是2.( )(2) 成立的条件是ab0.( )(3)函数 的最小值等于4.( )(4)x0且y0是 的充要条件.( )(5)若a0，则 的最小值为 ( )(6)若a,bR，则 ( ),【解析】(1)错误.当x0时，函数值一定为负，最小值不是2.(2)错误.当ab0且y0时一定有 但当 时，不一定有x0且y0，所以x0且y0是 的充分不必要条件.(5)错误.虽有 但不能说 就是的最小值，因为 的值与a有关，不是一个定值.(6
3、)正确. 由于 所以不等式成立.答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.下列不等式中正确的是( )(A)若aR，则a2+96a(B)若a,bR，则 (C)若a,b0，则 (D)若xR，则,【解析】选C.对于A，a2+9-6a=(a-3)20,a2+96a,故A不正确.由基本不等式成立的条件知B错误.对于C，当a,b0时，有 所以 故C选项正确.对于D，xR,x2+11, 故D错误.,2.若x0,y0，且x+y= ，则xy的最大值为( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选D.由基本不等式可得 当且仅当x=y= 时，xy取最大值 故选D.,3.函数f(x)=3x+3-x的
4、最小值是( )(A)2 (B)1 (C)3 (D)【解析】选A.由于3x0,3-x0，所以f(x)=3x+3-x= 当且仅当3x=3-x，即x=0时函数取得最小值2.,4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处.( )(A)8 (B)6 (C)5 (D)3,【解析】选C.设仓库到车站的距离为x千米，由题意设 而当x=10时，y1=2，y2=8，于是k1=20, 因此当且仅当x=5时取等号，所以仓
5、库应建在离车站5千米处.,5.若x0，则 的最大值为_.【解析】由于 而x0，所以 于是 当且仅当 时取等号，故 的最大值为答案：,6已知a，b为正实数且a+b=1，则 的最小值为_.【解析】a0,b0,a+b=1, 同理等号成立的条件为答案：9,考向 1 利用基本不等式判断命题真假【典例1】(1)若a,bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是( )(A)a2+b22ab (B)a+b(C) (D),(2)(2012福建高考)下列不等式一定成立的是( )(A)lg(x2+ )lgx(x0)(B)(C)x2+12|x|(D),【思路点拨】运用基本不等式和不等式的性质对每个选项进行分析判断，注意
6、基本不等式应用的条件和等号成立的条件是否满足.【规范解答】(1)选D.对于A，a2+b22ab，所以A错.对于B，C，虽然ab0，只能说明a,b同号，若a,b都小于0时，B，C不对.ab0, 故D正确.,(2)选C.由于 所以当且仅当 即 时取等号，故A错误. 当sin x1时，lga+loga102；当ab0时，,【变式训练】 给出下列结论：若x0，则若a0,b0，则 当x(0, )时， 的最小值为6；若a,b0，且ab=2，则 其中正确的结论的序号是_.,【解析】对于，只有当x0时，才有 成立，故错误；对于，虽然有a0,b0，但lga和lgb不一定都是正数，因此不一定有 故错误；对于，虽然
7、当x(0, )时，sin x0，所以 但其中的等号成立的条件是,即sin x=3，这显然是不可能的，因此不能说 的最小值为6，故错误；对于，由于 当且仅当 时取等号，所以正确.答案：,考向 2 利用基本不等式求最值【典例2】(1)若x0，则函数 的最小值等于_.(3)已知正数a,b满足 则a+b的取值范围是_.,【思路点拨】(1)因为x0，所以可对 利用基本不等式求最小值.(2)将函数解析式变形为 再对 运用基本不等式求最值.(3)一种思路是根据 将a+b中的b用a表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对 变形，获得a+b与ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立a+b的不等式求解.,【规
8、范解答】(1)由于x0,b0，可得 于是当且仅当 即 时取等号，所以a+b的取值范围是,方法二：由 得a+b=3ab.由于 ，所以即4(a+b)3(a+b)2，所以a+b即a+b的取值范围是 ,+).答案： ,+),【互动探究】本例(3)中，条件不变，求ab的取值范围.【解析】由于 所以 即所以 即ab的取值范围是 ,+).,【拓展提升】两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行
9、转化，然后通过解不等式进行求解.【提醒】在和与积相互转化时一定要注意前提条件是否成立.,【变式备选】(1)已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )(A)3 (B)4 (C) (D)【解析】选B.由于x0,y0，所以而2xy=8-(x+2y)，于是有 令x+2y=t，则t2+4t-320，解得t4或t-8(舍去)，因此x+2y4，即x+2y的最小值是4，故选B.,(2)函数 的最小值是_.【解析】因为0x，所以00得x4(x-4舍去)，所以函数在(4,+)上单调递增，于是当x=5时，y取得最小值13 180元.,【拓展提升】注意变量的取值范围在利用基本不等式解决实际应用问
10、题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值.,【变式备选】 某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为 万元.
11、,设汽车的年平均费用为y万元，则有当且仅当 即x=10时，y取得最小值.答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少.,【易错误区】忽视基本不等式等号成立的条件致误【典例】(2012浙江高考)若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )(A) (B) (C)5 (D)6,【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是：对x+3y运用基本不等式得到 的范围，再对3x+4y运用基本不等式，然后通过不等式的传递性得到3x+4y的最值，忽视了基本不等式中等号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致，从而导致错误.,【规范解答】选C.由x+3y=5xy可得所以当且仅当x=1
12、, 时取等号，故3x+4y的最小值是5.,【思考点评】1.连续运用基本不等式应注意等号成立的条件连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.,2.妙用“1”的代换求代数式的最值在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值.,1.(2013东莞模拟)若a0,b0，且a+b=2，则下列不等式中正确的是( )(A)ab1 (
13、B)ab1(C)a2+b24 (D)a2+b24【解析】选A.由已知可得而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2，故只有A正确.,2.(2013韶关模拟)若a1,则 的最大值是( )(A)3 (B)a(C)-1 (D)【解析】选C.因为a1,所以a-10，因此 当且仅当 即a=0时取最大值-1，故选C.,3.(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则( )(A)av (B)v= (C) (D)【解析】选A. 设甲乙两地的路程为s，则往返时间分别是 所以平均速度是因为a0,b0，若不等式 恒成立，则m的最大值等于( )(A)10 (B)9
14、 (C)8 (D)7【解析】选B. 由于a0,b0，所以不等式可化为 而 当且仅当 即a=b时取最小值9，所以不等式恒成立时m的最大值等于9.,1.下列结论中正确的是( )(A)若a0,则(a+1)( +1)2(B)若x0,则 (C)若a+b=1,则 (D)若a+b=1,则,【解析】选C.当a0时，有 故A错误.当x0时，不一定有lnx0，故 不一定成立，B错误.当a+b=1时， 故a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab 因此C正确，D错误.,2.已知a,b,c0且a2+2ac+2ab+4bc=1，则a+b+c的最小值为 ( )(A) (B)1 (C)2 (D)4【解析】选B.由a2+2ac+2ab+4bc=1得(a+2b)(a+2c)=1，由于a,b,c0，所以a+2b0,a+2c0，因此有(a+2b)+(a+2c) 即2(a+b+c)2，故a+b+c1，即a+b+c的最小值为1，选B.,3.已知a,b都是正实数，函数y=2aex+b的图象过(0,1)点，则 的最小值是( )(A) (B) (C)4 (D)2【解析】选A.依题意得2a+b=1，于是 当且仅当 即 时， 取最小值,
