1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,1.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的_构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.,有序数对(x，y),有序数对(x，y),2.二元一次不等式所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式_在平面直角坐标系中表示_某一侧所有点组成的_，把直线画成_，以表示区域不包括边界.当在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时，此区域应_，把边界画成_.,Ax+By+C0,Ax+By+C=0,平面区域,虚线,包括边界,实线,(2)二元一次不等式所表示的平面区域可用特殊点
2、法进行验证，任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.,3.线性规划的有关概念,不等式(组),不等式(组),解析式,一次,(x,y),可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,4.解线性规划问题的一般步骤(1)在平面直角坐标系中画出_.(2)分析_的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定_.(4)求出_.,可行域,目标函数,最优解,最值或范围,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)不等式Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( )(2)任何一个二元
3、一次不等式组都表示平面上的一个区域.( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ),(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(5)目标函数z=ax+by(b0)中，z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( )(6)目标函数z=(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(x,y)与(a,b)的距离.( ),【解析】(1)错误.不等式Ax+By+C0表示的平面区域也可能在直线Ax+By+C=0的下方，这要取决于A与B的符号.(2)错误.不一定，如果二元一次不等式组的解集为空集，它就不表示任何区域.(3)正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平
4、行时，最优解可能有无数多个.,(4)正确.线性目标函数都是通过平移直线，在与可行域有公共点的情况下，分析其在y轴上的截距的取值范围，因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(5)错误.由ax+by-z=0可得 所以 才是该直线在y轴上的截距.(6)错误.其几何意义应该是点(x,y)与(a,b)的距离的平方.答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内，则m的取值范围是( )(A)m1 (B)m1(C)m1【解析】选D.依题意有2m+3-50，解得m1.,2.若x,y满足约束条件 则z=3x-y的最小值是( )(A)-2
5、 (B)-3 (C)-4 (D)-5【解析】选C.z=3x-yy=3x-z,作出可行域，由图可知过A点时z取最小值，把点A(0,4)代入，可得z=-4.,3.已知点P(x,y)的坐标满足条件 则x2+y2的最大值为( )(A) (B) (C)8 (D)10【解析】选D.画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1，1)，OA B(2，2)，OB= C(1，3)，OC= 故|OP|的最大值为 即x2+y2的最大值等于10，故选D.,4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗
6、衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )(A)2 000元 (B)2 200元(C)2 400元 (D)2 800元,【解析】选B.设甲型货车使用x辆，乙型货车y辆.则 所花运费为z=400x+300y.画出可行域(如图)，由图可知当直线z=400x+300y经过点A(4,2)时，z取最小值，最小值为zmin=2 200，故选B.,5.不等式组 表示的平面区域的面积为_.【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，其面积等于答案：9,6.已知变量x，y满足约束条件 若目标函数zy-ax仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为_,【解析】画出可行域，如图所
7、示由zyax得yaxz，则z为直线yaxz在y轴上的截距，由于函数zyax仅在点(5,3)处取得最小值，如图所示，则a0,直线yaxz过点P(5,3)，且直线yaxz的斜率a大于直线xy2的斜率，所以a1.答案：(1，),考向 1 平面区域的相关问题【典例1】(1)已知不等式组 表示的平面区域的面积是 则a等于( )(A) (B)3 (C) (D)2,(2)(2012福建高考)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件 则实数m的最大值为( )(A)-1 (B)1 (C) (D)2,【思路点拨】(1)先画出不等式组所表示的平面区域，由于a0，其形状基本确定，是一个三角形，然后根据三角形的面积
8、公式求解.(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合函数y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.,【规范解答】(1)选A.画出平面区域，可知该区域是一个三角形，其面积等于 所以解方程组 得 所以 解得,(2)选B.如图，当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时，即三条曲线有唯一公共点时，m取到最大值，此时，(m,2m)在直线x+y-3=0上，则m=1,【互动探究】本例题(2)中，若约束条件中的m=0，那么当函数y=2x+h的图象上存在点满足约束条件时，实数h的取值范围是_.【解析】画出可行域，由图形可知，当函数y=2x+h的图象经过点(0,3)和点(3,0
9、)时，和区域只有一个公共点，此时h的值分别等于2和-8，因此要使函数图象上存在点满足约束条件，实数h的取值范围应是-8h2.答案：-8h2,【拓展提升】平面区域问题的求解思路求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时，要以数形结合思想方法为核心，充分利用函数图象与方程曲线的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等)，与平面区域的位置和形状联系起来，对参数的取值情况分析讨论，进行求解.,【变式备选】若不等式组 表示的平面区域为M，当抛物线y2=2px(p0)与平面区域M有公共点时，实数p的取值范围是( )(A)(0,2 (B) ,+)(C) ,+) (D) ,2,【解析】选D.作出平面
10、区域(如图)，可以求得A(1,2),B(2,1)，代入抛物线方程可得p=2,p= ，所以p ,2.,考向 2 线性规划的相关问题【典例2】(1)(2012广东高考)已知变量x，y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为( )(A)3 (B)1 (C)-5 (D)-6,(2)设变量x,y满足约束条件： 则 的最大值为( )(A) (B) (C)1 (D)不存在(3)已知实数x,y满足 目标函数z=ax-y的最小值和最大值分别为-2和2，则a的值为_,【思路点拨】(1)解答本题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z的值与直线z=x+2y在y轴的截距是
11、正相关，还是负相关.本题是正相关.(2)非线性目标函数，借助斜率模型进行求解.(3)线性规划逆向性问题，可行域已经确定，可对目标函数中的参数a进行分类讨论，确定最优解，从而求出a的值.,【规范解答】(1)选C.作出如图所示的可行域，当直线z=x+2y经过点B(-1，-2)时，z取得最小值，最小值为-5.(2)选B.画出可行域(如图)，又 表示(x,y)与定点P(-2,0)连线的斜率，所以当(x,y)在点A(0,1)时 取到最大值,(3)画出可行域(如图所示).由z=ax-y得y=ax-z，显然当a=0时，z的最大值和最小值分别为0和-2，不合题意.若a0，则z=ax-y在A(2,2)处取得最大
12、值2，在B( )处取得最小值-2，,因此有 解得a=2，符合题意；若a 时，由图形可知，目标函数在点A(2,0)处取得最小值，因此-2=0-2m，解得m=1.(2)当0m 时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)取得最小值，因此-2=-1-m0,m无解.,(3)当m- 时，由图形可知，目标函数在点C(-2,0)处取得最小值，因此-2=0+2m，解得m=-1.(4)当- m0时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)取得最小值，因此-2=-1-m0，m无解.综上，实数m的值等于1或-1.答案：1或-1,【思考点评】1.含绝对值不等式表示区域的画法含有绝对值的不等式所表示的平面区域，应该根据变量
13、的取值情况，将不等式中的绝对值符号去掉，化为几个不等式组，把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示的平面区域.,2.正确运用分类讨论的方法本题是线性规划的逆问题，这类问题的特点是含有参数，当在目标函数中含有参数时，参数的不同取值将要影响到最优解的位置，因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，对参数的取值情况进行分类讨论，在运动变化中寻找问题成立的条件，从而得到参数的取值.如果在约束条件中含有参数，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解.,1.(2013广
14、州模拟)在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为( )(A) (B)1 (C) (D)2【解析】选B.不等式组表示的平面区域是以(0,0),(-1,1)，(0，2)为顶点的三角形，其面积为1.,2.(2012广东高考)已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最大值为( )(A)12 (B)11 (C)3 (D)-1【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y经过点B(3，2)时，z取得最大值，最大值为11.,3.(2013湛江模拟)已知 则2x+3y的最大值为( )(A)5 (B)10(C) (D)14【解析】选D.不等式组 所表示的区域如图中阴影部分.设z=2x+3y，则
15、z的几何意义是直线在y轴上截距的3倍.根据直线与直线的位置关系，在点C处目标函数取得最大值，由 得C(1,4)，故zmax=21+34=14.,4.(2013泰安模拟)已知点M(x,y)满足 若ax+y的最小值为3，则a的值为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选C.由各选项知a取正值，设ax+y=z，结合图形易得当直线y=-ax+z过点(1,0)时，ax+y取得最小值，故a=3，选C.,5.(2013嘉兴模拟)设x,y满足约束条件则 的最大值( )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10,【解析】选D.画出可行域(如图)， 表示可行域中的点(x,y)与点M(-1,-1)连线斜
16、率的2倍，由图形可知，当可行域中的点取在A(0,4)时，连线斜率最大，为 故 的最大值等于10.,6.(2013惠州模拟)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=( )(A)4 650元 (B)4 700元 (C)4 900元 (D)5 000元,【解析】选C.设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z
17、元，z=450x+350y，由题意，x,y满足关系式 作出相应的平面区域，在由 确定的交点(7，5)处取得最大值4 900元.,1.若x,y满足约束条件 且z=log3(2x+y)，则z( )(A)既有最大值也有最小值 (B)有最大值无最小值(C)有最小值无最大值 (D)既无最大值也无最小值,【解析】选B.画出可行域(如图)，令u=2x+y，则y=-2x+u，由图形可知，当直线y=-2x+u经过点A(2,-1)和点B(-1,-1)时，u分别取得最大值3和最小值-3，而z=log3(2x+y)，故z只有最大值，没有最小值.,2.若不等式组 表示的平面区域的面积为5，且直线mx-y+m=0与该平面区域有公共点，则m的最大值是( )(A) (B) (C)0 (D),【解析】选A.画出可行域(如图)，可求得A(a,2a)，B(a,- )，三角形区域的面积为 所以 解得a=2，这时A(2,4).而直线mx-y+m=0可化为y=m(x+1)，它经过定点P(-1,0)，斜率为m，由图形知，当直线经过点A时，斜率m取最大值，且 故m的最大值是,3.若实数x,y满足不等式组 则 的取值范围是( )(A)- ,4 (B) ,5(C) ,6 (D)- ,5,【解析】选A.画出可行域(如图)，由于其中 表示可行域中的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率k，由图形可知k ,5，所以,
