1、1.3.1 单调性与最大（小）值,第三课时：复合函数的单调性,刘义国,复习旧知,1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？,复习旧知,1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？,2. 一次函数、反比例函数、二次函数的单调性是什么样的。,3. 函数四则运算的单调性。,增函数,增函数,增函数,减函数,为增函数,为增函数,减函数,减函数,为减函数,减函数,增函数,为减函数,（1）若 是增函数，则- 是减函数； 是减函数，则- 是增函数。,（2） 0，当 是减函数时， 是增函数； 是增函数时， 是减函数。,一、复合函数的单调性,定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若
2、 ，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量。其中f叫做外函数，g叫做内函数。,什么是复合函数？,引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2)
3、, 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。,增函数,增函数,增函数,增函数,增函数,增函数,减函数,减函数,减函数,减函数,减函数,减函数,例1、已知函数,例2：函数f(x)在（0，+ ）上是减函数， 试比较f(a2-a+1) 与f( )的大小,二、利用单调性比较大小,例3：已知二次函数f(x)图象的对称轴为x=2, 又知f(3)0,布置作业:1、已知 在区间 上是增函数，求 的单调区间。,2、已知 0)求 从小到大的顺序。,
