1、2.2.3独立重复试验与二项分布,1.独立重复试验一般地,在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.2.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则_.此时称随机变量X服从二项分布,记作_,并称p为_.,相同,1,2,n,XB(n,p),成功概率,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的.()(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果.()(3)独立重复试验每次试验发生的机会是均等的.()(4)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的.(),【解析】(1)正确.独立重复试验指的是做n次
2、重复试验,每次试验之间是相互独立的.(2)正确.在每次独立试验时,结果只有两种:发生与不发生.(3)正确.因为独立重复试验指的是做n次相同的试验,故每次试验发生的机会是均等的.(4)错误.各次试验的发生彼此独立.答案:(1)(2)(3)(4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知B ,则P(=4)=.(2)连续掷一枚硬币5次,恰好有3次出现正面向上的概率是.(3)某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为.,【解析】(1)由B 可知答案：(2)由题意可知，该试验是独立重复试验，由于硬币出现正面向上和反面向上是等可能的，均为 ，故出现正面向上的次
3、数服从二项分布B(5， ).所以答案：,(3)由题意可知，此人射击击中目标的次数服从二项分布B(3，0.6).所以P(2)=P(=2)+P(=3)=0.648.答案：0.648,【要点探究】知识点 独立重复试验与二项分布1.n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义,2.两点分布与二项分布的区别,【知识拓展】1.n次独立重复试验的概率公式的两种特殊情况k=n时,即在n次独立重复试验中事件A全部发生,概率为Pn(n)= pn(1-p)0=pn;k=0时,即在n次独立重复试验中事件A没有发生,概率为Pn(0)= p0(1-p)n=(1-p)n.,2.二项分布与二项式定理的关联P(X=k)= (k=0
4、,1,2,n)，如果把p看作b，1-p看作a，则有a+b=1,则 (k=0,1,2,n)就是二项式定理中(a+b)n展开式的通项.,【微思考】(1)要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验.则每次试验的前提是什么?提示:为了保证试验的效果,需要每次试验的条件相同.(2)两点分布与二项分布之间有怎样的关系?提示:两点分布是特殊的二项分布,即XB(n,p)中,当n=1时,二项分布就是两点分布.,【即时练】1.下列试验为独立重复试验的是()(1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上.(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中.(3)口袋装有5个白球,3个红球,2个
5、黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球.A.(1)B.(2)C.(3)D.都不是,2.下列说法正确的是.某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量,且XB(10,0.6);某福彩的中奖概率为p,某人一次买了8张,中奖张数X是一个随机变量,且XB(8,p);从装有5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数X是随机变量,且XB .,【解析】1.选B.(1)由于试验的条件不同(质地不同),因此不是独立重复试验.(2)某人射击击中的概率是稳定的,因此是独立重复试验.(3)每次抽取,试验的结果有三种不同的颜色,且每种颜色出现的可能性不相等,因此不是
6、独立重复试验.2.显然满足独立重复试验的条件,而虽然是有放回地摸球,但随机变量X的定义是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义.答案:,【题型示范】类型一 独立重复试验【典例1】(建议教师以第(2)题为例重点讲解)(1)(2014四川广元高二检测)某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为.,(2)某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 ,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了5次,求:其中只在第一、三、五次击中目标
7、的概率.其中恰有3次击中目标的概率.,【解题探究】1.题(1)中房源申请人申请片区是什么事件的试验?2.题(2)中射手射击了5次的含义是什么?【探究提示】1.独立重复试验.2.射击5次的意思是进行了5次独立重复试验.,【自主解答】(1)每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)= ，所以恰有2人申请A片区的概率为答案：,(2)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为,该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标根据排列组合知识
8、，5次当中选3次，共有 种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型故所求概率为,【延伸探究】若题(2)的条件不变，求其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.【解题指南】该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有 种情况.【解析】所求概率为,【方法技巧】独立重复试验概率求解的关注点(1)运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中
9、某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率(2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式,【变式训练】某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率.(2)5次预报中至少有2次准确的概率.(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.【解题指南】由于5次预报是相互独立的,且一次试验结果只有两种(准确或不准确),符合独立重复试验模型.,【解析】(1)记预报一次准确为事件A,则P(A)=0.8.5次预报相当于5次独立重复试验,2次准确的概率为 0.820.23=0.05120.05,因
10、此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”,其概率为 (0.2)5+ 0.80.24=0.006720.01.所以所求概率约为1-0.01=0.99.,(3)说明第1，2，4，5次中恰有1次准确.所以概率为 0.80.230.8=0.020 480.02.所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.,【补偿训练】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，直到停9次所以从低层到顶层停不少于3次的概率,设从低层
11、到顶层停k次，则其概率为所以当k=4或k=5时， 最大，即 最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为 ，停4次或5次的概率最大.,类型二 二项分布问题【典例2】(1)已知XB ，则P(X=2)=_.(2)已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的.,第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X,求X的概率分布列.第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率.,【解题探究】1.题(1)中由条件X=2可以得到什么？2.题(2)中“到成功
12、了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率”的含义是什么？【探究提示】1.X=2表示10次试验恰有两次发生.2.含义是求共进行7次试验，第7次是成功的，前6次中有3次失败，3次成功的概率.,【自主解答】(1)P(X=2)=答案：(2)由题意，随机变量X可能取值为0，1，2，3，则XB即P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=,所以X的概率分布列为第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为,【方法技巧】判断一个随机变量是否服从二项分布的关键(1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一.(2)重复性,即试验独立重
13、复地进行了n次.(3)随机变量是事件发生的次数.,【变式训练】(2014贵阳高二检测)高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学,事先进行了多方详细咨询,并根据自己的高考成绩情况,最终估计这3名男生报此所大学的概率都是 ,这1名女生报此所大学的概率是 .且这4人报此所大学互不影响.(1)求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率.(2)在报考某所大学的上述4名学生中,记为报这所大学的男生和女生人数的和,试求的分布列.,【解析】(1)记“报这所大学的人数中男生和女生人数相等”的事件为A，男生人数记为Bi(i=0,1,2,3)，女生人数记为Ci(i=0,1).P(A)= (2)=0
14、，1，2，3，4，,所以的分布列为：,【补偿训练】袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，每次抽取一个球，求有放回时，取到黑球个数的分布列.,【解析】取到黑球数X的可能取值为0，1，2，3.又由于每次取到黑球的概率均为 ，那么故X的分布列为,【易错误区】独立重复试验在实际问题中的应用【典例】(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 .求：(1)甲恰好击中目标2次的概率.(2)乙至少击中目标2次的概率.(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区,促提升失分点1:若将处二项分布识别错
15、误,导致本例基本不得分.失分点2:若将处的二项分布与独立事件混淆,导致本例最多得4分.失分点3:若将处的互斥事件混淆为独立事件,导致本例最多得6分.,【悟题】提措施,导方向1.正确识别二项分布在将实际问题转化为二项分布问题时,一定要准确识别并找准n,p,k的值,如本例在处用到二项分布知识.2.解概率问题要全面考虑在确定随机变量的所有可能取值时,要全面考虑,不可漏解,如本例中乙恰好比甲多击中目标2次包含了两个事件,若考虑不全,容易造成错误.,3.区分独立事件与互斥事件两个概念互斥事件是指两个事件不可能同时发生,独立事件是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响,本例处用到两个概念的区别.,【类题试解】9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.求:(1)甲坑不需要补种的概率.(2)3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率.(3)有坑需要补种的概率(精确到0.001).,【解析】(1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3= ，所以甲坑不需要补种的概率为1- =0.875.(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 0.041.(3)因为3个坑都不需要补种的概率为 ，所以有坑需要补种的概率为1- 0.330.,
