1、数学归纳法 (1)数学归纳法的概念： 先证明当n取第一值n0(例如可取n01)时命题成立，然后假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当 时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法 (2)数学归纳法适用范围： 数学归纳法的适用范围仅限于与 的数学命题的证明,nk1,正整数有关,(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤： 证明当n取 (如取n01或2等)时命题正确； 假设当nk(kN，kn0)时结论正确，证明当 时命题也正确 由此可以断定，对于任意 的正整数n，命题都正确,第一个值n0,nk1,不小于n0,利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确
2、把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设,例2求证：x2ny2n(nN)能被xy整除 思路点拨本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(xy)有困难，故可考虑用数学归纳法证明 证明(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)能被xy整除 (2)假设nk(k1，kN)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2k,x2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可
3、知，对任意正整数n命题均成立,利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证,3用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除证明：当n1时，47127能被9整除命题成立假设nk时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，当nk1时，(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，,由归纳假设(3k1)7k1能被9整除，又因为 18k7k277k也能被9整除，所以3(k1)17k11
4、能被9整除，即nk1时命题成立则可知对所有正整数n命题成立,4用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除证明：(1)当n1时，xy能被xy整除(2)假设n2k1时，x2k1y2k1能被xy整除，当n2k1时，x2k1y2k1x2k1y2k1x2y2k1x2y2k1x2(x2k1y2k1)y2k1(xy)(xy)，根据归纳假设x2k1y2k1能被xy整除，另一项有因式xy，因此也能被xy整除，所以，当n2k1时，命题仍然成立根据(1)(2)可知当n为正奇数时，xnyn能被xy整除.,用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从nk到nk1时，新增加的量是多少一般地，证明第二步时，常用的方
5、法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设,6求证：平面内有n(n2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)证明：(1)当n2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立。(2)假设当nk时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)那么nk1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线),直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k1部分，所以这k1条直线彼此互相分割成k2kk1(k1)2条线段(或射线)，即nk1时，命题成立由(1)，(2)知，命题成立,
