1、2.4.2抛物线的几何性质,第2章圆锥曲线与方程,学习目标重点难点重点:了解抛物线的几何性质,并掌握应用几何性质求抛物线方程的方法.难点:用抛物线方程及几何性质解决简单的实际问题.,学习导航,1.抛物线的几何性质抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下:,y22px(p0),x22py(p0),x0,y0,x轴,y轴,想一想1.抛物线x22py(p0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？提示:有一条对称轴;不是中心对称图形.,2.焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径,过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦,设抛物线上任意一点P(x0,y0),焦点弦端点A(x1,y1),B(
2、x2,y2),则四种标准形式下的焦点弦、焦半径公式为:,做一做2.已知抛物线y22px(p0)上一点的横坐标为2,且这点到焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为_.,题型一抛物线几何性质的应用 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y22x上,求这个三角形的边长.,【名师点评】抓住图形的对称是求解本题的关键.根据图形的性质,可以直观地看出对称性,但解题时仍需合理地证明,不能只凭主观判断而忽视推理证明.,变式训练1.已知焦点在x轴上的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为4,求抛物线的标准方程,并求出它的焦点坐标及准线方程.,题型二抛物线的焦点弦问题 斜率为1的直线经过抛物线y2
3、4x的焦 点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.【解】法一:如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),【名师点评】本题法一利用传统的基本方法求出A、B两点坐标,再利用两点间距离公式求出AB的长;法二充分利用抛物线的定义,把过焦点的这一特殊的弦分成两个焦半径的和,转化为到准线的距离的和,这是思维产生质的飞跃的表现.,变式训练2.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.,题型三抛物线的实际应用 (本题满分14分)某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区.已知A
4、BBC,OABC且ABBC2AO4 km,曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.,(1)建立适当的坐标系,求曲线段的方程;(2)如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上,且一个顶点P落在OC上,设点P到AB的距离为2y,试求矩形工业园区的用地面积关于y的函数表达式.,【思路点拨】为了使曲线段OC的对应的方程为标准方程,首先要合理建立平面直角坐标系(以O为原点,OA所在直线为y轴建立直角坐标系),为了求规划的矩形工业园区的用地面积,通过建立函数,转化为函数问题,注意函数的定义域.,矩形工业园区的用地面积SPQPN(2y)(4y2)y32y24y8(0y0)上两点,O为原点,若OAO
5、B,求证:直线AB过定点.,方法技巧1.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大.它的离心率为1是一个定值,有一个焦点,一个顶点,一条准线,一条对称轴,没有中心,学习中要注意区分,比较记忆.对于抛物线的四种形式的标准方程,应准确把握熟练应用,能作出图形,会利用图形分析性质.,2.若弦AB过抛物线的焦点,则叫抛物线的焦点弦,其弦长ABx1x2p.3.若弦AB过抛物线的焦点且垂直于对称轴,此时弦AB叫抛物线的通径,通径长为2p,是焦点弦中最短的弦.,失误防范1.抛物线的标准方程中一次项的变量是哪个字母,抛物线就关于哪个坐标轴对称、焦点就在哪个坐标轴上.但要注意,已知某轴为对称轴或已知焦点在某轴上,这样的抛物线有两种情况,不要遗漏某种情况,如例1的变式训练,例2的变式训练都应该是两解.,2.解决与抛物线有关的实际应用问题,要注意建立合适的坐标系,把实际问题转化为数学问题,利用数学知识解决后,必须回到实际问题中检验,如例3及变式训练都要注意建立合适的坐标系.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
