1、23.3向量数量积的坐标运算与度量公式,学习目标,学习导航,重点难点重点：向量数量积的坐标表示，掌握向量的模、夹角等公式难点：能根据公式解决向量的模、夹角、垂直等有关问题,一、向量数量积(内积)的坐标运算已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab_.,a1b1a2b2,1.已知a(1,3)，b(2，1)，则ab_.解析：ab(1)23(1)235.答案：5,二、向量垂直的坐标表示已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2_(a1，a2)(b2，b1),0,做一做2.已知a(2,4)，b(，1)，且ab，则_.解析：abab0,ab240,2.答案：2,向量的长度等于它的
2、坐标平方和的算术平方根,做一做3.已知a(3，x)，|a|5，则x_.,答案：4,想一想4.如何利用数量积求两向量夹角？提示：(1)利用平面向量数量积的坐标公式求出这两个向量的数量积,已知a(6,2)，b(2,4)，求ab，|a|，|b|，a，b,【名师点评】已知向量的坐标，我们便直接用公式来计算数量积，模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化,变式训练1已知a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a及b(ca)解：(1)设ab(，2)(0)，则ab410.2，a(2,4),(2)bc(1,2)(2，1)220，(bc
3、)a0，同理ca0，b(ca)0.,【名师点评】熟练掌握平面向量的夹角公式、两向量的数量积定义及其运算性质是解此类题目的关键，在求解过程中只要明确所求解的量，并逐步求解所求的量即可顺利解题,变式训练2已知a(2，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围,名师微博,【名师点评】使用向量的知识解决问题时,有向量式和坐标两种形式的思路，可以先把向量式展开，再把模长、内积等量代入求解;也可以先求出坐标，然后求解,变式训练3已知两个向量a(3,4)，b(2，1)，求当axb与ab垂直时，求x的值解：法一：(axb)(ab)，(axb)(ab)0，|a|2(x1)abx|b|20，,1已知向量
4、a(1，n)，b(2，n)，若2ab与b垂直，则ab()A2B4C6 D8,解析：选C.(2ab)b，(4，n)(2，n)0，n28，ab2n26.,2已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0. m1.答案：1,解：分别以向量m、n的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，|m|2，|n|1，m(2,0)，n(0,1)，a(8，1)，b(2,2)，c(4，3)，a23(ab)2(bc)165314221104.,方法技巧向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直，如例2.,失误防范要注意区分两向量平行与垂直的坐标表示，以防混淆造成不必要的失误已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，aba1b2b1a20；aba1b1a2b20.,
