1、2.1.2 曲线和方程(2),上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x, y）所满足的方程f (x, y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.,复习回顾：,1解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.,2平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2
2、）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.,例1 设A、B两点的坐标是（1，1）,（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.,类型 三 定义法求轨迹方程 【典型例题】1.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,APB=60,则动点P的轨迹方程为.,【解题探究】1.过圆外一点向圆引两切线,切线长的关系是什么?,从圆外一点引圆的两条切线,则切线长相等.,2.到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么?,到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,以定长为半径的圆.,【解析】如图.|PA|=|PB|,连接PO.则OPB=30.,|OB|=1.|P
3、O|=2.,P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4.,例1 设A、B两点的坐标是（1，1）,（3，7），求到A、B的距离相等的点的轨迹方程.,.由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：,证明:（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解.,M,A(-1,-1),B(3,7),y,x,O,解:,即点M1在线段AB的垂直平分线上.由（1）、（2）可知方程是线段AB的垂直平分线的方程.,M1,A(-1,-1),B(3,7),y,x,O,例2 点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数k (k0)，求点M的轨迹方程.,y,x,O,M (x, y),Q,R,解:,这就
4、是所求的轨迹方程，证明略,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x, y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P =M | P（M）；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。,说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.,课堂小结 通过本节学习，要求大家初步认识坐标法研究几何问题的知识与观点，进而逐步掌握求曲线的方程的一般步骤.,类型 一 直接法求曲线方程 【典型例题】1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,则点M的轨迹方程为.,【解析】1.设M(x,y).由题意,得,
