1、第2课时简单线性规划的应用,【题型探究】类型一 实际问题中的最小值问题【典例】1.铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：,某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为_百万元.,2.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为多少元？,【解题探究】1.典例1中体现不等关系的关
2、键词有哪些？提示：“至少要生产1.9万吨铁”中的“至少”；“CO2的排放量不超过2万吨”中的“不超过”；“购买铁矿石的最少费用”中的“最少”.,2.典例2中的条件较多，如何把约束条件准确地列出来？提示：把相应的条件分类、分条目，放入到一个表格中，直观体现.,【解析】1.可设需购买A铁矿石x万吨，B铁矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为,目标函数为z=3x+6y，画出不等式组表示的平面区域如图.当目标函数经过点(1，2)时目标函数取最小值，最小值为zmin=31+62=15.答案：15,2.租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品情况如下表：,设租赁甲设备x台，乙设备y台，租赁费为z元，根据题意得z
3、=200x+300y，作出可行域如图(阴影部分的整数点)所示：,作直线l0：2x+3y=0，平移该直线l0，过A时z取最小值，由 得A(4，5)，符合实际意义，则zmin=4200+5300=2300(元).答：所需租赁费最少为2300元.,【方法技巧】有关成本最低，费用最少问题的解题技巧(1)最优解的常见位置：线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.,(2)四舍五入：在解决实际问题时，若最优解要求满足一定的精确度，则要注意不可随意将所求结果进行四舍五入，否则有可能使近似值对应点超出可行域，而导
4、致所求解无意义.,【拓展延伸】解答线性规划应用题的技巧(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要.(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.,(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等.(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式.,【变式训练】某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所用的总工作时数最少.,【解析】设A
5、厂工作x小时，B厂工作y小时，总工作时数为T小时，则它的目标函数为T=x+y且可行域如图.,由图知当直线l：y=-x+T过Q点时，纵截距T最小，解方程组 得Q(16，8)，答：A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所用的总工作时数最少.,类型二 实际问题中的最大值问题【典例】1.(2015陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(),A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元,2.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计
6、划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：,试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大？,【解题探究】1.典例1中应按照怎样的思路求出最大利润？提示：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值.,2.典例2中如何根据表格分析约束条件和目标函数？提示：在表格横行观察第一行得到研制新产品A，B所需费用的资金限制条件；第二行得到研制新产品A，B搭载质量的限制条件；第三行通过收益得目标函数.,
7、【解析】1.选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，则 目标函数为z=3x+4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.,由z=3x+4y得y= 平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大，解方程组 即A的坐标为(2，3)，所以zmax=3x+4y=6+12=18.,即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元.,2.设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z=80x+60y.作出可行域，如图.,作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大
8、值， 即M(9，4)，即搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大.,【延伸探究】1.(改变问法)典例1中的所有条件不变，则每天生产甲、乙两种产品的吨数分别是多少时，该企业每天可获得最大利润，并求此最大利润.,【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，则目标函数为z=3x+4y.,作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.,由z=3x+4y得y= 平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大，解方程组 即A的坐标为(2，3)，故每天生产甲、乙两种产品分别为2吨和3吨时，该企业每天可获得最大利润，此时最大利润
9、为zmax=3x+4y=32+43=18(万元).,2.(变换条件)典例1中若将“生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元”改为“生产1吨甲、乙产品可获利润分别为4万元、3万元”，其他条件不变，结果如何？,【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，则目标函数为z=4x+3y.,作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.,由z=4x+3y得y= 平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大，解方程组 即A的坐标为(2，3)，即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产生最大的利润.,【方法技巧】解答线性规
10、划应用题的一般步骤(1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.,(3)求解解这个纯数学的线性规划问题.(4)作答对应用题提出的问题作出回答.,【补偿训练】某公司计划2016年在A，B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.A，B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定A，B两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的
11、收益分别为0.3万元和0.2万元.问公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为多少分钟时，公司能获得最大收益？,【解题指南】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，由题意列出x，y的约束条件和目标函数，然后利用线性规划的知识求解.,【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数z=3000x+2000y.二元一次不等式组等价于,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.,作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0，平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.所以点M的坐标为(10
12、0，200).答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200分钟广告时，公司的收益最大.,【延伸探究】1.(改变问法)若本题的条件不变，求分配在两个电视台做广告的时间应分别为多少时，公司能获得最大收益，最大收益为多少？【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，,由题意得目标函数z=3000x+2000y.二元一次不等式组等价于,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.,作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0，平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.则zmax=3000100+200020
13、0=700000.答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益为700000元.,2.(变换条件)若将本题中的“能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元”，改为“能给公司带来的收益分别为0.4万元和0.2万元”，又如何求解？,【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数z=4000x+2000y.二元一次不等式组等价于,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.,作直线l：4000x+2000y=0，即2x+y=0，平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最
14、大值.联立 所以点M的坐标为(100，200)，所以zmax=4000100+2000200=800000.答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是80万元.,类型三 线性规划的整数解问题【典例】1.某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费.第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台,有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买_台，第二种机器应购买_台.,2.某工
15、厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电,器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数),【解题探究】1.典例1中对于两种机器的取值有何限制？提示：两种机器数的取值应为整数.2.典例2应从哪几个方面列出约束条件？提示：应从每天外壳配件方面加工的能力，每天
16、电器方面加工的能力，每天装配加工的能力三个方面列约束条件.,【解析】1.设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总的年利润为z万日元，则 目标函数为z=9x+6y.不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点.,当直线z=9x+6y经过点 即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点(33，7)，此时z=9x+6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台较好.答案：337,2.设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，则z=2x+y，满足作出可行域如图阴影部分的整点：,由图可得O(0，0)，A(0，3)，
17、B(2，3)， D(4，0)平移直线y=-2x+z，当直线过(3，2)或(4，0)时z有最大值.答：工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大.,【延伸探究】典例2中，若将甲种家电的利润改为“100元”，乙种家电的利润改为“200元”，又如何求解？,【解析】设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件，y件，获取的利润为z百元，则z=x+2y，满足目标函数变形为 由可行域知当目标函数过点B(2，3)时目标函数取最大值，工厂每天制造甲种家电2件，乙种家电3件时利润最大，Wmax=8(百元).,【方法技巧】寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线
18、l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.,(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值.(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解.,【变式训练】(2015张家界高二检测)我市某玩具公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A，B，C三种玩具共100个，且C玩具至少生产20个.每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时(分钟
19、)和所获利润如下表：,(1)用每天生产A玩具个数x与B玩具个数y表示每天的利润(元).(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？,【解析】(1)由题意=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.(2)由题意，约束条件为,可行域如图中的整点所示.解方程组得 点M的坐标为(20，60)，所以max=2x+3y+300=520(元).答：每天生产A玩具20个，B玩具60个，C玩具20个，才能使每天的利润最大，最大利润是520元.,【补偿训练】某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件 求目标函数z=10x+10y的最大值.,【解析】画出不等式组 表示的平面区
20、域如图：,而由题意知x和y必须是正整数.直线y=-x+ 由A点向下平移经过的第一个整点为(5，4).所以z=10x+10y的最大值为90.,规范解答 线性规划解决实际应用问题【典例】(12分)(2015南昌高二检测)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.,(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元).(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？,【审题指导】(
21、1)要用卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)，需首先表示出伞兵的个数为100-x-y.(2)要求得最大利润，需要先列出约束条件为转化为求目标函数的最值问题.,【规范解答】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y，所以利润w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.3分,(2)约束条件为 5分整理得目标函数为w=2x+3y+300.7分,作出可行域，如图所示：,初始直线l0：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，w有最大值.10分,最优解为A(50，50)，所以wmax=550(元).11分答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大为550元.12分,【题后悟道】1.线性约束条件的完备性解决线性规划问题的前提是建立线性约束条件，进而画出可行域，如本例在求解中易漏掉条件“x，yN”.,2.确保作图的准确性画图对解决线性规划问题至关重要，作图应要求准确，图上操作要求规范，如本题中图上标出各个直线方程以及交点.,3.注意最优解的求解策略在求最优解的过程中，平移直线要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线斜率进行比较，确定最优解，如本例若把直线：2x+3y=0，x+3y=200，x+y=100间的斜率关系判断错误，则直接影响最优解的求解.,
