1、第2课时一元二次不等式及其解法习题课,【题型探究】类型一 不等式恒成立问题【典例】1.若不等式-x2+2x-a0恒成立，则实数a的取值范围是()A.a1B.a1C.a0恒成立.,【解析】1.选A.由于函数f(x)=-x2+2x-a的图象开口向下，故应有0，所以a1.,2.选B.设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)，g(a)0恒成立且a-1，1可得 解得 故可得x3.,3.由已知函数f(x)的定义域为R，所以不等式ax2+3ax+90恒成立.(1)当a=0时，不等式等价于90，显然恒成立.(2)当a0时，则有 解得0a4.由(1)(2)可知：0a0恒成立，故当a=0时不适合，当a0时，由
2、于-5，2是方程ax2+3ax+9=0的两个根，解得a=- .,2.(变换条件)若将典例3中的定义域改为，又如何求a的值呢？【解析】由于定义域为，即ax2+3ax+90无解，故应有 无解，即a的解集为.,【方法技巧】与一元二次不等式有关的恒成立问题的求解策略(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.,(3)对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在
3、给定的区间上全部在x轴下方.,【补偿训练】已知f(x)=-3x2+a(5-a)x+b，若对于任意的实数a，则f(2)0，要使对于任意的实数a，2a2-10a+(12-b)0恒成立，则有0恒成立，解得b0可得-12-2a(5-a)+b0，即2a2-10a+b-120，对于任意实数a恒成立，则有=100-42(b-12) .,2.(变换条件)若将函数改为f(x)=3x2+a(5-a)x+b，其他条件不变，又如何求解？【解析】由f(2)0对于实数a恒成立，故应有=100-42(-b-12)0，解得b- .,类型二 利用转化法解分式不等式角度1：分式不等式转化为整式不等式【典例】1.不等式 0的解集为
4、(-，-1)(4，+)，则实数a=_.,【解题探究】1.与典例1同解的整式不等式是什么？提示：同解的整式不等式为(x-1)(x+2)0，故不等式两边能同时乘以x2+x+1，去掉分母后不等号方向不变.3.典例3中由 0可化为怎样的整式不等式？提示：由 0可化为(x-a)(x+1)0.,【解析】1.选C.与 0同解的整式不等式为(x-1)(x+2)0，由于(x-1)(x+2)0的解集为(-2，1)，故 0，故原不等式等价于x2-2x-20，所以(x+2)20，解得x-2.所以不等式的解集为x|x-2.3.不等式 0可变形为(x+1)(x-a)0，即(x+1)(x-4)0，所以a=4.答案：4,【延
5、伸探究】若将典例2中的不等式“ 0，故原不等式变为x2-2x-20，故不等式的解集为R.,角度2：分式不等式转化为整式不等式组【典例】解下列不等式：,【解题探究】1.典例(1)中不等式如何转化？提示：转化为两个不等式组.2.典例(2)中不等式转化的步骤是什么？提示：移项通分转化.,【解析】(1) 0可转化为 解得x1或x0，所以不等式 0的解集为x|x0或x1.,(2)原不等式可化为 0，即 0.由于x2-2x+1=(x-1)20，所以原不等式等价于 解得所以原不等式的解集为x|-2x1或10的解集是()A.(-3，2)B.(2，+)C.(-，-3)(2，+)D.(-，-2)(3，+)【解析】
6、选C.原不等式等价于(x-2)(x+3)0，解不等式可得x2或x2.【解析】因为不等式 2，所以 -20，可以变形为 0，即 0，此不等式等价于(x-2)(x-1)0，解得1x2，故原不等式的解集为x|1x0化为(-x+2)(x-1)0，没有将第一个因式x的系数-1化为正，解得不等式的解集为x|x2的错误.,类型三 一元二次不等式的实际应用【典例】1.(2015塘沽高二检测)有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积最大为_升.,2.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大
7、约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？,【解题探究】1.典例1中两次倒出的纯农药之和为多少？应建立怎样的关系式？提示：8+ (设桶的容积为x升)，利用剩余的纯农药小于或等于容积的28%建立不等关系.,2.典例2中每一瓶的附加税应为多少？若征收附加税，此时销售量应为多少？提示：每一瓶的附加税应为70k%，若征收附加税，此时销售量应为100-10k.,【解析】1.设桶的容积为x升(x0)，由题意得x-8- 28%x，即9x2-150x+4000(x0)，(3x
8、-10)(3x-40)0，解得 ，所以桶的最大容积为 升.答案：,2.设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70xk%万元，其中x=100-10k.由题意，得70(100-10k)k%112，整理得k2-10k+160，解得2k8.因此，当2k8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元.,【方法技巧】解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.(3)求：解不等式.(4)答：回答实际问题.,【变式训练】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率
9、为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.,(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式.(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.,【解题指南】求出降低税率后的税率为(10-x)%，此时农产品的收购量为a(1+2x%)万担，可表示出降税后税收总金额；利用表示出降税后税收总金额应大于或等于原计划税收的83.2%，建立不等式求解.,【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%)万元.依题
10、意得y=200a(1+2x%)(10-x)%= a(100+2x)(10-x)(0x10).,(2)原计划税收为200a10%=20a(万元).依题意得 a(100+2x)(10-x)20a83.2%，化简得x2+40x-840，解得-42x2，又因为0x10，所以0x2.因此要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，x的范围是0x2.,【补偿训练】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%)，售出商品数量就增加 x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y=f(x)，并写出定义域；(2)若
11、再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.,【解析】(1)由题意，营业额为y=因为售价不能低于成本价，所以 80，所以y与x之间的函数关系式为y=20(10-x)(50+8x)，定义域为0，2.,(2)由题意得20(10-x)(50+8x)10260，化简得8x2-30x+130，解得 又因为0x2，所以x的取值范围为,规范解答 不等式恒成立问题的求解【典例】(12分)(2015大同高二检测)设函数f(x)=ax2+2x-1，若对于一切实数xR，f(x)0恒成立，求a的取值范围.【审题指导】要求a的取值范围，需由一切实数xR，f(x)0恒成立，对a分为a=0和a0两种情况讨论求解.,【规范解答】不等式ax2+2x-10若对于一切实数xR恒成立，即函数f(x)=ax2+2x-1的图象全部在x轴下方.(1)当a=0时，2x-10，不符合题意.3分,(2)当a0时，若对于一切实数xR，f(x)0恒成立，则有6分解得a-1.10分综上可得a的取值范围为a-1.12分,【题后悟道】1.分类讨论的意识在解含有参数的问题时，切记分类讨论思想的应用，如本例中的解析式中二次项的系数含有参数a，故需考虑是否需要分类讨论.,2.等价转化的思想等价转化的思想是不等式恒成立问题体现的主要数学思想方法之一，如本例中当a0时，此时不等式恒成立问题转化为求解不等式组的解的问题.,
