1、第2课时等差数列的性质,【自主预习】主题:等差数列的性质1.已知等差数列an,对于数列中的任意两项an,am存在怎样的关系?提示:由等差数列的通项公式可知an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,两式相减,得an-am=(n-m)d,所以an=am+(n-m)d.,2.观察等差数列an的项与项数,回答问题:(1)3+6=4+5,a3+a6与a4+a5相等吗?提示:相等.,(2)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq吗?提示:相等.因为am=3m,an=3n,ap=3p,aq=3q,am+an=3(m+n),ap+aq=3(p+q),因为m+n=p+q,故am
2、+an=ap+aq.,3.推广到一般对于任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q.则在等差数列an中,am+an与ap+aq之间有怎样的关系?为什么?用符号语言描述:am+an=ap+aq.因为am+an=a1+(m-1)d+ a1+(n-1)d=2a1+(n+m-2)d,而ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1) d=2a1+(p+q-2)d,又因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.,等差数列的性质:an是公差为d的等差数列,(1)若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=_.(2)an=am+_.,ap+aq,(n-m)d,【深度思考】结合教材P39练习
3、T4,你能写出公差为d的等差数列an的另外一些性质吗?(1)_.(2)_.,数列an+b(,b是常数)是公差为d的等差,数列,(3)_.(4)_.(5)_.,下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列,若数列bn为等差数列,则anbn,kan+bn(k,为非零常数)也是等差数列,项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列,【预习小测】1.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24【解析】选B.a2+a10=a4+a8=16.,2.在等差数列an中,若a2=1,a6=-1,则a4=()A.-1
4、 B.1 C.0 D.-【解析】选C.由2a4=a6+a2=-1+1=0,所以a4=0.,3.在等差数列an中,已知a1+a2+a3+a4+a5=25,那么a3=()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.由a1+a5=a2+a4=2a3,故5a3=25,所以a3=5.,4.在等差数列an中,a1=1,a3=-3,则an=_.【解析】等差数列的公差d= =-2,所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)(-2)=-2n+3.答案:-2n+3,5.在等差数列an中,a5=10,a10=-20,则a14=_.【解析】d= =-6,所以a14=a10+4d=-20+4(-6)=-44.答案:-
5、44,6.设数列an,bn都是等差数列,且a1=25,b1=75, a2+b2=100,那么数列an+bn的第37项的值是多少?【解析】设cn=an+bn,则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,故d=c2-c1=0.所以cn=100(nN*),从而c37=100.,【互动探究】1.若an是等差数列且am+an=ap+aq,那么m+n=p+q一定成立吗?为什么?提示:不一定,当数列是常数列时,结论不成立;当数列是非常数列的等差数列时,结论成立.,2.特别地,若m+n=2p(m,n,pN*),那么am+an=2ap是否成立?若m+n+p=q+r+s(m,n,p,q,r,
6、sN*),是否有am+an+ap =aq+ar+as成立?提示:成立.因为当m+n=2p时,am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d=2a1+2(p-1)d=2ap,同理可以证明若m+n+p=q+r+s(m,n,p,q,r,sN*),有am+an+ap=aq+ar+as成立.,【探究总结】知识归纳:,注意事项:(1)等差数列an中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n, p,qN*),但若m,nN*,则am+an=am+n不成立.(2)等差数列an中,若am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),则m+n=p+q不一定成立.,【题型探究】类型
7、一:等差数列的性质及应用【典例1】(1)已知等差数列an满足a1+a2+a3+ a101=0,则有()A.a1+a1010 B.a2+a1010,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.,类型三:等差数列的实际应用【典例3】梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度.【解题指南】可设a1=33,a12=110,n=12,求出an的通项公式,进而求出各级的宽度.,【解析】用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由已知,得a1=33,a12=110,n=12.由通项公式,得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d
8、.解得d=7.因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54, a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm, 54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.,【规律总结】利用等差数列解决实际问题的注意点(1)实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列模型.(2)公差不为0的等差数列的图象是一条直线上的均匀排列的孤立的点,反之给出这样的图象,那么它们之间构成等差数列,利用等差数列的性质解题.,【巩固训练】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行
9、调查,提供的两个不同的信息表如图所示:,甲调查表明:从第1年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息:(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.,【解析】(1)设第n年平均每个养鸡场饲养鸡an万只,养鸡场为bn个,由图知an,bn均为等差数列且1n6,a1=1,a6=2,所以an=0.2n+0.8,b1=30,b6=10,所以bn=-4n+34,所以a2=0.22+0.8=1.2,b2=-42+34=26,a2b2=1.226=31.2(万只).所以第2年有养鸡场26个,全县出产鸡31.2万只.,(2)a1b1=130=30(万只),a6b6=210=20(万只).因为a6b6a1b1,所以第6年养鸡业规模比第1年缩小了.,
