1、3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法,【自主预习】主题:一元二次不等式及其解法1.方程x2-2x-3=0的根是什么?提示:由x2-2x-3=0,得(x-3)(x+1)=0,所以x=3或x=-1.所以方程x2-2x-3=0的根为3或-1.,2.画出函数y=x2-2x-3的图象,并指出函数的图象与x轴交点的坐标.提示:函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的图象如图所示,由图可知函数的图象与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0).,3.观察图象,试写出不等式x2-2x-30和x2-2x-30的解集为x|x3或x-1;x2-2x-30的解集为x|-1xx2,或x0时求出相应
2、的一元二次方程的两根.,根据一元二次不等式解集的结构,写出其解集.,【预习小测】1.下面所给关于x的几个不等式:3x+40;ax2+4x-70;x20的解集是()A. B.(1,+)C.(-,1)(2,+)D. (1,+)【解析】选D.不等式2x2-x-10等价于(2x+1)(x-1)0,所以不等式的解集为,3.一元二次不等式ax2+bx+20的解集为 则a-b=_.【解析】由题意知- 和 是ax2+bx+2=0的两根且a0的解集为_.(用区间表示)【解析】原不等式x2+3x-40(x+4)(x-1)0-4x 1.故解集为(-4,1).答案:(-4,1),5.设集合A=x|(x-1)23x+7
3、,xR,求集合AZ中元素的个数.(仿照教材P78例2的解析过程)【解析】由(x-1)23x+7,得-1x6,所以集合A为x|-1x0的解集是全体实数的条件是什么?提示:令f(x)=ax2+bx+c,由题意知f(x)0恒成立,则应开口向上,与x轴无交点,所以应满足,2.不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为的条件是什么?提示:3.一元二次不等式的解集的端点值与一元二次方程的根之间存在怎样的关系?提示:一元二次不等式解集的端点值即为相应一元二次方程的根.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:(1)借助二次函数y=ax2+bx+c的图象性质解一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0的解集
4、为x|x2或x0的解集为x|x2或x0(a0)或ax2+bx+c 0);,求方程ax2+bx+c=0(a0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;由图象得出不等式的解集.(2)代数法:将所给不等式化为一般式后分解因式,然后转化为一元一次不等式组求解.,【巩固训练】解下列不等式:(1)x2+2x-30.(2)2x2-x+10.(3)4x2+4x+10.,【解析】(1)由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1.结合二次函数的图象知不等式的解集为x|-3x1.(2)因为=(-1)2-421=-70,故不等式2x2-x+10无解.(3)4x2+4x+10,可变为(2x+1)20,故不等式
5、的解集为,类型二:含参数的一元二次不等式的解法【典例2】解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+20).【解题指南】将原不等式左端因式分解求出相应的一元二次方程的两根,然后对a进行分类讨论确定两根的大小进而求出原不等式的解集.,【解析】不等式ax2-(2a+1)x+20,故不等式可化为 (x-2)2,此时不等式的解集为 若a= ,则不等式为(x-2)2 ,则 0(a0可化为(ax-1)(x-2)0,由于a ,所以原不等式的解集为,2.(变换条件)若将本题中的条件“(a0)”去掉,又如何求解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+20呢?,【解析】不等式ax2-(2a+1)x+20时,不等式可化为
6、 (x-2)2,此时不等式的解集为 若a= ,则不等式为(x-2)2 ,则 2,此时不等式的解集为,(2)当a=0时,不等式化为-x+22.(3)当a0,由于 2,故不等式的解集为 综上所述:当a2.当0 时,不等式的解集为,【规律总结】解含参数的一元二次不等式的方法(1)二次项的系数若含有参数,要分系数等于0、小于0、大于0讨论,然后将不等式的二次项系数化为正数.(2)若判别式不确定,需讨论判别式与0的关系.(3)确定方程无实根时,可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两个根的大小关系,从而写出解集.,【巩固训练】解关于x的不等式x2-x-a(a-1)0.【解析】原不等式可化为(x+a-1)(x-a)0,所以当a-(a-1),即a 时,原不等式的解集为x|xa或x0得原不等式的解集为 当a1-a.,拓展类型:抽象不等式的求解【典例】函数y=f(x)(x0)是奇函数,且当x(0,+)时,是增函数,若f(1)=0,求不等式 0时,若 0=f(1),则 1,即0 1,解得,当 0时,若 0=f(-1),则 -1,由 -1得x,所以原不等式的解集为,【规律总结】解抽象不等式的关键及注意点1.解抽象不等式的关键是利用单调性,把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.2.注意点:(1)题设条件中所给的定义域.(2)灵活应用函数的奇偶性和单调性.,
