1、第2课时等比数列的性质,【知识提炼】1.等比数列的项与序号的关系,qn-m,aman=apaq,2.等比数列的单调性,递增,递减,递减,递增,常,【即时小测】1.判断(1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.()(2)若an为等比数列，且m+n=p(m，n，pN*)，则aman=ap.(),(3)若等比数列an的公比q1，则数列an是递增数列.(),【解析】(1)正确.根据等比数列中任意两项关系，即an=amqn-m(n，mN*)可知该说法正确.(2)错误.例如等比数列1，2，4，8，中，a1a2a3.(3)错误.在等比数列an中，若q1，数列an并不一定是递增数列，如等比
2、数列-1，-2，-4，公比q=21，但此数列是递减数列.答案：(1)(2)(3),2.等比数列an中，a5=3，q= ，则a3=()【解析】选D.因为数列an是等比数列，所以a5=a3q2，所以3=a3 ，所以a3=12.,3.若数列an为等比数列，则下列式子一定成立的是()A.a2+a5=a1+a6B.a1a9=a10C.a1a9=a3a7D.a1a2a7=a4a6【解析】选C.以等比数列32n为例进行检验，可知A，B，D均不成立.对于C，因为a1a9=a12q8，a3a7=a12q8，所以a1a9=a3a7.,4.已知摆动数列an是等比数列，且a2=1，a4=16，则公比q为_.【解析】由
3、题意得q2= =16，所以q=4，又因为数列an是摆动数列，所以q=-4.答案：-4,5.在等比数列an中，a10+a11= ，a11+a12=2，则公比q=_.【解析】因为a11+a12=(a10+a11)q，所以q= 答案：,【知识探究】知识点1 等比数列通项公式的推广观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：等比数列通项公式的推广形式是如何得出的？问题2：等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什么？,【总结提升】1.等比数列通项公式推广形式的证明设等比数列an的公比为q，则an=a1qn-1，am=a1qm-1，m，nN*，两式相除得 所以an=amqn-m.,2.等比数列通项公式的推广
4、形式的作用(1)求等比数列的公比.(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m，可求出等比数列的任何一项.,知识点2 等比数列的性质观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：等比数列an中，若m+n=s+t，则aman=asat，该结论是如何证明的？问题2：已知数列an是等比数列，还有哪些与该数列有关的等比数列呢？,【总结提升】1.等比数列中四项关系的性质及证明若等比数列an中，m，n，s，tN*且m+n=s+t，则aman=asat.,证明：设等比数列an的公比为q，aman= a1qm-1a1qn-1=a12qm+n-2，asat= a1qs-1a1qt-1=a12qs+
5、t-2，因为m+n=s+t，所以aman=asat.,2.等比数列的“子数列”的性质数列an是公比为q的无穷等比数列.(1)去掉数列an的前m项后余下的项仍组成公比为q的等比数列.(2)奇数项数列a2n-1是公比为q2的等比数列；偶数项数列a2n是公比为q2的等比数列.,(3)在数列an中每隔k(kN*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk+1.,【题型探究】类型一 等比数列通项公式的推广和应用【典例】1.(2015全国卷)等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.842.已知等比数列an为递增数列，且a
6、52=a10，2(an+an+2)=5an+1，则数列的通项公式an=_.,【解题探究】1.典例1中，解题的基本思路是什么？提示：利用条件a1=3，a1+a3+a5=21求出公比，再利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2求值.2.典例2中，an+2，an+1与an有什么关系？提示：an+2=anq2，an+1=anq.,【解析】1.选B.设等比数列的公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.,2.设等比数列的公比为q.因为a52=a10，所以(a1q4)2=a1q9，所以a1=q，
7、所以an=qn.因为2(an+an+2)=5an+1，所以2an(1+q2)=5anq，所以2(1+q2)=5q，解得q=2或q= (舍去)，所以an=2n.答案：2n,【方法技巧】等比数列推广的通项公式的应用技巧(1)由等比数列的任意两项可求出数列的公比，即由an=amqn-m可得qn-m= ，进一步计算公比.(2)由等比数列的任意一项和公比可以求出该等比数列的通项公式.(3)等比数列推广的通项公式可揭示等比数列中两个相同项数的和之间的关系，如a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3.,【变式训练】已知数列an为等比数列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11.【解析】因为数列an为
8、等比数列，所以a1a9=a3a7=64，又因为a3+a7=20，所以a3，a7是方程t2-20t+64=0的两个根.,所以a3=4，a7=16或a3=16，a7=4.当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20，所以1+q4=5，所以q4=4.当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20，所以1+q4= ，所以q4= .所以a11=a1q10=a3q8=64或1.,【补偿训练】1.在等比数列an中，a2 012=8a2 009，则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8【解析】选A.因为 =q3=8，所以q=2.,2.在等比数列an中，存在正整数m，有am=3，am+5=24，则am+
9、15=_.【解析】因为 =q5=8，又因为 =q10=(q5)2=82.所以am+15=amq10=2482=1 536.答案：1 536,类型二 等比数列性质的应用【典例】在等比数列an中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数，求数列an的通项公式.,【解题探究】本例中，哪个条件可以用等比数列的性质进行转化？如何转化？提示：条件a4a7=-512可利用“若m+n=k+l，则aman=akal”转化为a3a8=-512.,【解析】由a4a7=-512，知a3a8=-512.解方程组得 因为q为整数，所以q= =-2，所以an=a3qn-3=-4(-2)n-3=(-1)n-2
10、2n-1.,【延伸探究】1.(变换条件)若将典例中条件“a4a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数”改为“a7a11=6，a4+a14=5”，则结果又如何？,【解析】因为数列an是等比数列，所以a4a14=a7a11=6.解方程组得 所以 所以an=a4qn-4=2,2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件改为a4+a7=2，a5a6=-8，求a1+a10.,【解析】因为数列an为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8.联立可解得 当 时，q3=- ，故a1+a10= +a7q3=-7；当 时，q3=-2，同理，有a1+a10=-7.,【方法技巧】巧用等比数列的性质解题(1
11、)解答等比数列问题的基本方法基本量法基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.,(2)利用等比数列的性质解题基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.,【补偿训练】若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，求lna1+lna2+lna20.【解析】方法一：各项均为正数的等比数列an中，a10a11=a9a12=a1a20，则a1a20=e5，lna1+lna2+lna20=l
12、n(a1a20)10=lne50=50.,方法二：各项均为正数的等比数列an中，a10a11=a9a12=a1a20，则a1a20=e5，设lna1+lna2+lna20=S，则lna20+lna19+lna1=S，2S=20ln(a1a20)=100，S=50.,【延伸探究】1.(变换条件)若将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为“a3a9=2a52，a2=2”，其他条件不变，结果又如何？,【解析】因为数列an是等比数列，所以a3a9=a62，又因为a3a9=2a52，所以2a52=a62，又因为an0，所以 a5=a6，所以公比q= 又因为a2=2，所以an= 所以lna1+l
13、na2+lna20=ln(a1a2a20)=,2.(变换条件、改变问法)将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为“a3a8=9”，其他条件不变，求log3a1+log3a10的值.【解析】log3a1+log3a10=log3(a1a10)=log3(a3a8)=log39=2.,类型三 等差、等比数列的综合问题【典例】1.(2015襄阳高一检测)等比数列an中，a1=512，公比q=- ，记Tn=a1a2an，则Tn取最大值时n的值为()A.8B.9C.9或10D.11,2.(2015湖州高一检测)已知数列an满足：a1=2，an+1=an2-kan+k(kR)，a1，a2，a3分
14、别是公差不为零的等差数列bn的前三项.(1)求k的值.(2)求证：对任意的nN*，bn，b2n，b4n不可能成等比数列.,【解题探究】1.典例1中，Tn符号的变化规律是什么？如何将|Tn|表示为关于n的函数？提示：从第1项开始Tn的符号变化规律成正、负、负、正周期变化.利用等比数列的通项公式、指数运算的法则和等差数列求和公式，可将|Tn|表示为关于n的函数.,2.典例2第(1)问中a1，a2，a3满足什么关系？如何用k表示a2，a3？第(2)问中若bn，b2n，b4n能成等比数列，则可推出什么结果？提示：第(1)问中2a2=a1+a3，根据a1=2，a2=a12-ka1+k，a3=a22-ka
15、2+k，可用k表示a2，a3.第(2)问中若bn，b2n，b4n能成等比数列，则可推b2n2=bnb4n.,【解析】1.选B.an=a1qn-1=512 =(-1)n-12921-n=(-1)n-1210-n.所以|Tn|=|a1a2an|=29+8+10-n= 所以当n=9或10时，|Tn|最大.又因为T100，所以T9最大.,2.(1)因为a1=2，所以a2=4-k，a3=2k2-11k+16.又因为2a2=a1+a3，所以2k2-9k+10=0，解得k=2或 ，又因为bn的公差不为零，所以k= .,(2)由(1)知，bn= 假如bn，b2n，b4n成等比数列，则bnb4n=b2n2.代入
16、化简得：(5-n)(5-4n)=(5-2n)2，解得n=0.与nN*矛盾，故bn，b2n，b4n不可能成等比数列.,【延伸探究】在典例1的条件下，试分析T2016的符号.【解析】由于等比数列an中a10，q=- 0.,【方法技巧】解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.,(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.,【变式训练】已知在等差数列an与等
17、比数列bn中，公差与公比均为d(d0，且d1).若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求它们的通项公式.【解题指南】由条件可建立a1与d的方程组求解.,【解析】因为an=a1+(n-1)d，bn=b1qn-1=a1dn-1，所以由 得-2，得5a1d4-6a1d2+a1=0.因为a10，所以5d4-6d2+1=0.,解得d2= 或d2=1，又因为d0，且d1，所以d= .代入，得a1=- .所以an=a1+(n-1)d= bn=b1dn-1=a1dn-1=,【补偿训练】已知等比数列bn与数列an满足bn=(nN*).(1)若a8+a13=m，求b1b2b20.(2)若b3b5=39，a4+
18、a6=3，求b1b2bn的最大值.,【解析】(1)易证得an是以log3q为公差的等差数列(q为等比数列bn的公比).又因为a8+a13=m，所以b1b20= 所以b1b2b20=(b1b20)10=310m.,(2)由b3b5=39，得a3+a5=9.又因为a4+a6=3，所以d=-3，a1= ，所以an= +(n-1)(-3).于是a1+an= + +3-3n=30-3n，所以b1b2bn= 所以，当n=5时，b1b2bn取得最大值 .,拓展类型 等比数列的实际应用【典例】1.已知某猪场的猪每一年都在上一年存栏的基础上增加一倍，并且每年卖出500头，该猪场2015年卖出后存栏数为1 000
19、头，则到_年时，该猪场的猪的存栏数开始超过1 024 500头.,2.“猴子分苹果”的趣题：海滩边五只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成五等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分成五等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份.以后的三只都是如此，则最初至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？,【解析】1.设2015年，2016年，2017年，n年，猪场的猪的存栏数依次为a1，a2，a3，an，.由题意得a1=1000，an=2an-1-500，n2，nN*，所以an-500=2(an-1-500)，,所以an-500是一个首项为500，公比为2的等比数列，所以a
20、n-500=5002n-1，an=500+5002n-1，令500+5002n-11 024 500，得2n-12 048.解得n12，即a131 024 500.所以13+2015-1=2027.故2027年猪场的猪的存栏数超过1 024 500头.答案：2027,2.设最初的苹果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次为a2，a3，a4，a5，a6，由题意得，an+1=an-1- (an-1)= 不难得出an+1+4= (an+4)，所以an+4=(a1+4) ，n=1，2，3，4，5，6.所以a6=(a1+4) -4.,又因为a6是整数，所以a1+4的最小值是55，即a1的最小值是55-4=3
21、 121.即最初至少有3 121个苹果，从而最后至少剩下a6=45-4=1 020个苹果.,【方法技巧】解等比数列应用题的一般步骤,【补偿训练】从盛满aL纯酒精的容器中倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，第n次操作后酒精的浓度是多少？若a=2，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%？,【解析】第一次取出纯酒精1L，加水后，浓度为 记为a1=1- .第二次取出纯酒精 1L，再加水后，浓度为 记为a2= ,依次类推，第n次取出纯酒精 1L，再加水后，浓度为 ，记为an= .当a=2时，由an= 10%，得n4.即至少倒4次后酒精的浓度低于10%.,规范解答 等差数列、
22、等比数列的综合问题【典例】(12分)(2015广东高考)设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a1=1，a2= ，a3= ，且当n2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.,(1)求a4的值.(2)证明： 为等比数列.(3)求数列an的通项公式.,【审题指导】(1)令n=2可得a4的值.(2)先将4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2)转化为4an+2+an=4an+1(n2)，再利用等比数列的定义证明 是等比数列.,(3)先由(2)可得数列 的通项公式，再将数列 的通项公式转化为数列 是等差数列，进而可得数列an的通项公式.,【规范解答】(1)当n=2时，4S4+5S2=8S
23、3+S1，1分即解得：a4= .2分,(2)因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2)，所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n2)，即4an+2+an=4an+1(n2)，3分,因为4a3+a1=4 +1=6=4a2，4分,所以4an+2+an=4an+1，因为6分,所以数列 是以a2- a1=1为首项，公比为的等比数列.7分,(3)由(2)知：数列 是以a2- a1=1为首项，公比为 的等比数列，所以an+1- an= ，8分,即 10分所以数列 是以 =2为首项，公差为4的等差数列，所以 11分,即an= 所以数列an的通项公式是an= .12分,【题后悟道】1.加强解题的目标性解答等差数列、等比数列的证明问题，关键是根据题目要求有目的地进行变形.如本例中要证数列是等比数列，就要分析an+2- an+1与an+1- an的关系.,2.关注解题细节力求严谨解答数列问题时，要特别关注题目条件中n的取值范围，否则会导致对条件理解不到位出现解题漏洞.如本例中，n2时推出4an+2+an=4an+1，还需验证4a3+a1=4a2.,3.注意转化与化归思想的应用等差、等比数列是数列问题的两个重要模型.因此，解答数列问题时要加强构建等差或等比数列的意识.如本例中， 转化为 可构建等差数列 ，进一步容易求出数列an的通项公式.,
