1、第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理,【知识提炼】1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等.即： = = =2R.(R为ABC外接圆的半径),正弦,2.三角形中的元素与解三角形(1)三角形的元素：指的是三角形的_.(2)解三角形：已知三角形的_求_的过程.,三个角及其对边,几个元素,其他元素,【即时小测】1.思考下列问题(1)在ABC中，若已知三个角A，B，C，可以解其他元素吗？提示：不可以，在ABC中，必须有“边”的元素加入，否则无法确定三角形的大小.,(2)用正弦定理解三角形时需要哪些已知条件？提示：需要三个，任意两角及其一边或任意两边与其中一边的对角.,
2、2.在ABC中，a=15，b=10，A=60，则sinB=()【解析】选A.由正弦定理 ，知sinB=,3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=105，B=45，b=2 ，则c=()【解析】选D.因为A+B+C=180，所以C=30，由正弦定理 ，故,4.在ABC中，若B=30，b=2，则 =_.【解析】答案：4,5.在ABC中，若 a=2bsinA，则B=_.【解析】由正弦定理得 sinA=2sinBsinA，因为sinA0，所以sinB= .又0Ba可得A为锐角，由正弦定理求出sinA，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，由正弦定理求得b.,【解析】1.在ABC中，由
3、正弦定理得sinB=因为ab，所以AB，所以B=所以C=答案：,2.因为 ，所以sinA=因为ca，所以CA.所以A= .所以,【延伸探究】1.(变换条件)若把典例2中C= 改为A= ，其他条件不变，求C，B，b.,【解析】因为所以本题有两解.因为 ，所以sinC=所以C= 或 .当C= 时，B= ，b=当C= 时，B= ，b=,2.(变换条件)若把典例2中a=2改为B= ，求A，a，b的值.【解析】由三角形内角和定理知A=又由正弦定理 ，得又由 ，得,【方法技巧】1.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时，
4、由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.,(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.,2.已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数的方法(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数.(2)在ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：,【拓展延伸】图示已知a，b，A，ABC解的情况.(1)A为钝角或直角时解的情况如下：,(2)A为锐角时，解的情况如下：,【补偿训练】1.在ABC
5、中，已知b=30，c=15，C=26，则此三角形的解的情况是()A.一个解B.两个解C.无解D.无法确定【解析】选B.因为bsinC=30sin2630sin30 =15=c，所以bsinCcb，所以AB，B为锐角，B=30.C=180-(A+B)=105.由正弦定理 ,得,类型三 判断三角形形状【典例】1.已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则ABC一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形,2.在ABC中，若sinA=2sinBcosC，且sin2A=sin2B+ sin2C，试判断ABC的形状.,【解题探究
6、】1.在典例1的ABC中，由acosA=bcosB能得出什么结论？提示：结合正弦定理，由acosA=bcosB得出sinAcosA= sinBcosB.,2.在典例2的ABC中，由sin2A=sin2B+sin2C，能得出什么结论？提示：结合正弦定理，由sin2A=sin2B+sin2C得出a2=b2+c2.,【解析】1.选D.由正弦定理，已知条件可以变形为sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B，故2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B= ，ABC为等腰三角形或直角三角形.,2.方法一：设则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC因为sin2A=sin2B+s
7、in2C.所以(ksinA)2=(ksinB)2+(ksinC)2.所以a2=b2+c2.,所以A=90，B+C=90.由sinA=2sinBcosC，得sin90=2sinBcos(90-B)，所以sin2B= .因为B是锐角，所以sinB= ，所以B=45，C=45.所以ABC是等腰直角三角形.,方法二：同方法一，求得A=90.因为A=-(B+C)，sinA=2sinBcosC，所以sin(B+C)=2sinBcosC.所以sinBcosC-cosBsinC=0，即sin(B-C)=0.所以B-C=0，即B=C.所以ABC是等腰直角三角形.,【延伸探究】若将典例2中条件“sinA=2sin
8、BcosC”改为“bsinB=csinC”，其他条件不变，结果如何？,【解析】由本例解法知A=90，由bsinB=csinC可得sin2B=sin2C，所以sinB=sinC.由A=90知，B、C均为锐角.所以B=C.故ABC为等腰直角三角形.,【方法技巧】1.判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.,(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项
9、提取公因式，以免漏解.,2.用正弦定理进行边角互化的两种方法(1)边化角.根据sinA= ，sinB= ，sinC= 化边为角(其中R为ABC外接圆的半径).(2)角化边.根据a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC化角为边(其中R为ABC外接圆的半径).,【变式训练】ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定,【解析】选B.依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC+cosBsinC=sin2A，有sin(B+C)=sin2A，从而sin(B+C)=si
10、nA=sin2A，解得sinA=1，所以A= ，所以ABC为直角三角形.,【补偿训练】在ABC中，已知 ，且2sinAsinB=2sin2C，试判断其形状.,【解析】由已知所以b2-a2=ab又2sinAsinB=2sin2C，由正弦定理得：2ab=2c2由得b2=a2+c2.所以该三角形是以B为直角的直角三角形.,易错案例 利用正弦定理解三角形【典例】在ABC中，已知A=45，a=2，b= ，则B=_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是忽略了题目中的隐含条件ab，从而AB.,【自我矫正】因为所以sinB=因为ab，所以AB，所以B为锐角.故B=30.答案：30,【防范措施】解三角形时的两个关注点(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角时，要分清是大边对的角还是小边对的角，从而确定解的情况.(2)有时也可借助图形加以判断，应尽量避免增根或失根问题的出现.,
