1、3.2简单的三角恒等变换(一),【自主预习】主题:半角公式1.如何用cos2表示sin2,cos2,tan2?提示:根据倍角公式,sin2= (1-cos2),cos2= (1+cos2),tan2=,2.如何用cos表示sin2 ,cos2 ,tan2 ?提示:sin2 = (1-cos),cos2 = (1+cos),3.如何用cos表示sin ,cos ,tan ?提示:在上述变式式子的基础上通过开方运算即可.,通过以上探究过程,试着写出半角公式:sin =_;cos =_;tan =_,【深度思考】通过教材P140例2你认为应如何进行三角恒等变换?第一步:_.第二步:_.第三步:_.第
2、四步:_.,寻找角间关系,并以此为依据选择联系它们,的公式,进行式的变换,进行角的适当换元,整理并化简,【预习小测】1.已知cos= ,且(0,),则cos 的值为() 【解析】选A.因为(0,)所以,2.已知sin=- ,3 ,则tan 的值为()A.-3 B.3 C.- D.【解析】选A.因为3 ,所以cos=,3.已知cos= 且0,则sin =.【解析】因为0,所以0 , 答案:,4.已知cos12=m,则cos6=.【解析】因为cos 12=m,所以cos 6= 答案:,5.已知cos=- ,且180270,则tan =.【解析】因为180270,所以90 135,所以tan 0,所
3、以tan = 答案:-2,【互动探究】1.半角公式中根号前面的正负号怎样确定?提示:符号由 所在象限决定.,2.利用倍角公式,半角的正切公式还可以作如何变形?提示:,【探究总结】知识归纳:,方法总结:三角恒等变换的方法(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.,(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.,【题型探究】类型一:应用半角公式求值【典例1】已知sin=- 且 ,求sin ,cos ,tan 的值
4、.,【解题指南】先由sin求出cos,然后结合半角公式及 的范围求sin ,cos ,tan 的值.,【解析】因为sin =- , ,所以cos =- .又,【规律总结】半角公式与倍角公式的关系及应注意的问题(1)半角公式与倍角公式是相对而言的,即2是的二倍角,是2的半角.(2)在三角函数问题中用到半角公式时,通常借助于倍角公式推导出再应用,亦可直接利用半角公式求解.,(3)在利用半角公式解题时,注意判断角的范围,以免产生增根.提醒:在利用半角公式求值时,注意角的范围,根据角的范围得出所求值的符号.,【巩固训练】(2016潍坊高一检测)若cos=- ,是第三象限的角,则 ()A.-B. C.2
5、 D.-2,【解析】选A.因为是第三象限角，cos =- ，,类型二:三角函数式的化简【典例2】(1)(2016深圳高一检测)已知是第三象限角,则 =() (2)(2016长春高一检测) 的化简结果是.,【解题指南】(1)先使用半角公式升幂,再开方化简或被开方数的分子、分母同乘以(1-cos)或(1+cos),再开方化简.(2)把被开方数升幂,写成平方的形式,再开方化简.,【解析】(1)方法一:选A.因为是第三象限角,则 是第二或第四象限角.,方法二:选A.原式=,(2)原式= =2|cos4|+ =2|cos4|+2|sin4-cos4|.因为 所以cos40,sin4cos40,所以sin
6、4-cos40.从而原式=-2cos4-2sin4+2cos4=-2sin4.答案:-2sin4,【延伸探究】1.若把本题(2)中“8”改为“80”,如何化简?【解析】因为0sin40cos40,所以原式= =2|cos40|+2|sin40-cos40|=2cos40+2(cos40-sin40)=4cos40-2sin40.,2.本题(2)中若把式子改为 如何化简?,【解析】=2|sin4|+2|sin4+cos4|,因为 所以sin40,cos40,从而sin4+cos40,故原式=-2sin4-2(sin4+cos4)=-4sin4-2cos4.,【规律总结】三角函数式化简的要求、思路
7、和方法(1)化简的要求.能求出值的应求出值;尽量使三角函数种数最少;尽量使项数最少;尽量使分母不含三角函数;尽量使被开方数不含三角函数.,(2)化简的思路.对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.(3)化简的方法.弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂等.,【补偿训练】化简:,【解析】原式=因为00，所以原式=-cos .,类型三:三角恒等式的证明【典例3】证明:,【解题指南】(1)从左往右证明,切化弦,逆用两角和与差的正弦公式.(2)从左往右证明,先用半角公式转化cosx-1和1-cosx再化简证明.(3)由 利用等比定理即可证明.,【证明】(1)左边=所以原等式成立.,【规律总结】三角恒等式证明的常见途径(1)从复杂的一端向简单一端化简,即化繁为简.(2)两边化简,使其都等于中间某个式子,即左右归一.(3)把式子中的切函数化为弦函数,即化切为弦.(4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子,即等价化归.,【巩固训练】求证:,【证明】左边 =右边，所以原等式成立,
