1、单元复习课第二章,类型一:平面向量的线性运算【典例1】(1)(2016宝鸡高一检测)化简得(),(2)设D,E,F分别是ABC的三边BC,CA,AB上的点,且 则 ()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直,【解析】(1)选D. (2)选A.,【规律总结】向量的线性运算注意点及常见题型(1)向量的加、减、数乘结果仍是一个向量,应用运算法则和运算律解题时,一定要注意从向量的大小和方向两个方面理解.(2)向量加法运算,要注意向量的首尾相连,利用三角形法则进行运算;向量减法运算,要注意向量的起点相同,差向量应是两个向量终点的连线,指向被减向量.,(3)关于向量的线性运算主要题型有:
2、证明三点共线、直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等.,【巩固训练】(2016福州高一检测)如图,已知 用a,b表示 则 等于(),【解析】选B.因为 所以 所以 又因为,类型二:平面向量的数量积【典例2】在ABC中,已知 求:(1) (2) 方向上的投影.(3) 方向上的投影.,【解析】因为 所以ABC为直角三角形,且C=90.所以cosA=,【规律总结】向量的数量积及应用(1)向量的数量积是一个数量,当两个向量的夹角为锐角或同向平行时,它们的数量积为正数;当两个向量的夹角为钝角或反向平行时,它们的数量积为负数;当两个向量的夹角为90时,它们的数量积为0.,(2)向量的数量积概念中涉及向量的
3、夹角(包括垂直),向量的模,所以求两个向量的夹角、向量的模,及两个向量的垂直关系的证明是这一部分的主要题型.,【巩固训练】(2016开封高一检测)在ABC中,BAC=120,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,DC=2BD,设 (1)试用a,b表示 .(2)求 的值.,【解析】(1)因为 =b-a,(2)ab=|a|b|cos120=-1,类型三:平面向量的平行、垂直问题【典例3】(1)(2016烟台高一检测)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(kR),向量n=e2-2e1,则当且仅当k取何值时向量m,n共线()A.k=0B.k=1C.k=2D.k=,(2)(2016贵
4、阳高一检测)已知向量a=(-3,2),b=(-1,0),设a与b的夹角为.求cos;若(a+b)(a-2b),求的值.,【解析】(1)选D.由mn得m=n,即-e1+ke2=(e2-2e1),可得,(2)因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以 ab=-3(-1)+20=3,因此cos=,a+b=(-3,2)+(-1,0)=(-3-1,2),a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2),由(a+b)(a-2b)得(-3-1)(-1)+22=0,解得:=- .,【延伸探究】题(2)中,若(a+b)(a-2b),求的值.【解析】因为a+b=(-3-1,2),a-2b=(-1,2),且(
5、a+b)(a-2b),所以2(-3-1)-(-1)2=0,解得=- .,【规律总结】1.证明共线问题常用的方法(1)向量a,b(a0)共线存在唯一实数,使b=a.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线x1y2-x2y1=0.(3)向量a与b共线|ab|=|a|b|.(4)向量a与b共线存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0.,2.证明平面向量垂直问题的常用方法abab=0x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).,【巩固训练】已知a,b,c在同一平面内,且a=(1,2).(1)若|c|=2 ,且ca,求c.(2)若|b|= ,且(a+2b)(2a-b
6、),求a与b的夹角.,【解析】(1)因为ca,所以设c=a,则c=(,2).又|c|=2 ,所以=2,所以c=(2,4)或(-2,-4).,(2)设a与b的夹角为,因为(a+2b)(2a-b),所以(a+2b)(2a-b)=0.因为|a|= ,|b|= ,所以ab=- .所以cos= =-1,所以=180.,类型四:平面向量的模和夹角问题【典例4】(1)已知向量 =( cos, sin),则 夹角的范围是(),(2)设0|a|2,f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值为0,最小值为-4,且a与b的夹角为45,求|a+b|.,【解析】(1)选C.建立如图所示的直角坐标系.因为 =(
7、 cos, sin),所以点A的轨迹是以C(2,2)为圆心, 为半径的圆.,过原点O作此圆的切线,切点分别为M,N,连接CM,CN,则向量 的夹角范围是MOB NOB.由 知COM=CON= ,又COB= .所以,(2)f(x)=1-sin2x-|a|sinx-|b| 因为0|a|2,所以当sinx=- 时, -|b|+1=0;当sinx=1时,-|a|-|b|=-4.,所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=22+222cos45+22=8+ ,所以|a+b|=,【规律总结】向量夹角及模的求解方法(1)求向量夹角的方法:先用向量a与b分别表示角的两边;计算出ab及|a|,|b|的值;根据cos= ,求出两向量夹角的余弦值,并根据角的取值范围确定夹角的值.,(2)向量模的求解方法:根据公式|a|= (其中a=(x,y),所以只需知道向量a的坐标;可根据三角形或平行四边形法则求解;可对向量平方,转化为向量的数量积求解.,【巩固训练】已知|a|=1,|b|=2,a与b夹角为60,求a+b与a-b夹角的余弦值.,【解析】因为(a+b)(a-b)=a2-b2=-3,由|a+b|2=a2+b2+2ab=7,所以|a+b|= ,由|a-b|2=a2+b2-2ab=3,所以|a-b|= .设(a+b)与(a-b)夹角为,所以cos= 所以(a+b)与(a-b)夹角的余弦值为- .,
