1、2.5平面向量应用举例,【知识提炼】1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”(1)建立平面几何与向量的联系，用_表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_.(2)通过_研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.,向量,向量问题,向量运算,2.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与位移s的数量积.,【即时小测】1.思考下列问题.(1)若 ，则直线AB与CD平行吗？提示：不一定. ，则直线AB与CD平行或重合.(2)向量 的
2、夹角是直线AB，CD的夹角吗？提示：不一定是.因为直线AB，CD的夹角范围为 所以当 的夹角是锐角或直角时，即为直线AB与CD的夹角，否则不是.,2.若向量 =(2，2)， =(-2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1+F2|为()A.(0，5)B.(4，-1)C.2D.5【解析】选D.因为F1+F2=(2，2)+(-2，3)=(0，5)，所以|F1+F2|=5.,3.力F=(-1，-2)作用于质点P，使P产生的位移为s=(3，4)，则力F对质点P做的功是_.【解析】因为W=Fs=(-1，-2)(3，4)=-11，所以力F对质点P做的功是-11.答案：-11,【知识探究】知识点1 向量在平
3、面几何中的应用观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：向量方法可解决平面几何中的哪些问题？问题2：利用向量法如何证明相等、平行、垂直、三点共线及求角？,【总结提升】向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB=CD，则可转化为证明 (2)要证明两线段平行，如ABCD，则只要证明存在实数0，使 成立，且AB与CD无公共点.(3)要证明两线段垂直，如ABCD，则只要证明数量积 (4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数0，使 (5)要求一个角，如ABC，只要求向量 与向量 的夹角即可.,知识点2 向量在物理中的应用观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：在物理学
4、中，你知道哪些知识与向量的线性运算有关系？问题2：如何利用向量方法解决物理中的相关问题？,【总结提升】向量在物理中应用时要注意的三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型.(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.,(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识：力、速度、加速度和位移都是向量；力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法；动量mv是数乘向量；功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积.,【题型探究】类型一 平面几何中的垂直问题【典例】1.在四边形ABCD中， =(1，2)， =(-4，2)，
5、则该四边形的面积为()A.B.2C.5D.102.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点.求证：AFDE(利用向量证明).,【解题探究】1.典例1中由 的坐标表示，可以得出AC，BD存在怎样的位置关系？提示：由 =0，可知ACBD，即平行四边形的对角线互相垂直.2.典例2中，要证明AFDE，如何采用向量法求证？提示：证明,【解析】1.选C.因为 =1(-4)+22=0，所以 ，所以四边形ABCD的面积是,2.方法一：设则所以所以a2=b2，ab=0，所以 =0，所以 即AFDE.,方法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1.则A(0，0)
6、 ， D(0，1).所以又所以 即AFDE.,【方法技巧】利用向量解决垂直问题(1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.(2)途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.,【变式训练】如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：PAEF.,【证明】以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，,【延伸探究】若本题条件不变，用向量法证明PA=EF.【解题指南】本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出 的坐标，证明其模相等即可.,【证明】建立如图
7、所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).设,类型二 平面几何中的长度问题【典例】1.已知在ABC中，A=60，BC=a，AC=b，AB=c，AP是BC边上的中线，则AP的长为( )2.已知在RtABC中，C=90，设AC=m，BC=n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD= AB.(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示).,【解题探究】1.典例1中 的夹角是多少？如何利用 表示向量 ？提示： 的夹角为60，根据平行四边形法则和两个向量共线的条件，可以用 表示向量 .2.典例2中，如何求 ？提示：利用A，E，F三点共线，,【解析】1.选B
8、.因为AP是BC边上的中线，所以向量,2.(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n，0)因为D为AB的中点，所以,(2)因为E为CD的中点，所以设F(x，0)，则因为A，E，F三点共线，所以即(x，-m)=则 故= ，即x= ，所以所以 即AF的长为,【延伸探究】1.(改变问法)典例2中若条件不变，如何求AE的长.【解析】建立坐标系后，由题知， 则,2.(改变问法)典例2中若条件不变，如何求BE的长.【解析】由题知B(n，0)，则所以即BE的长为,【方法技巧】1.用向量法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底，向量的数量
9、积转化，用公式|a|2=a2求解.(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a=(x，y)，则|a|=,2.用向量解决平面几何问题的两种思想(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.,【补偿训练】1.如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，则对角线AC的长为_【解题指南】求线段长度的问题可以转化为求向量的模，写出后会发现未知量可由 计算出,【解析】设而所以5-2ab=4，
10、所以ab= ，又 =|a+b|2=a2+2ab+b2=1+4+2ab=6，所以 即AC= .答案：,2.已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则 的最小值为_【解析】方法一：以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，,设DC=a，DP=x. 所以D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，所以 =(5，3a-4x)，所以 的最小值为5.答案：5,方法二：设所以所以 的最小值为5.答案：5,类型三 向量在物理中的应用【典例】1.一航船用5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方
11、向与水流方向成30角，则水流速度为_；船的实际速度为_.2.已知两恒力F1=(3，4)，F2=(6，-5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).试求：(1)力F1，F2分别对质点所做的功.(2)F1，F2的合力对质点所做的功.,【解题探究】1.典例1中，船在河水中航行要考虑哪三个速度？提示：水流速度、船在静水中速度、船的实际速度.2.典例2中如何用坐标表示质点的位移？求力做功可以利用向量的哪种运算？提示：用终点坐标减去起点坐标可以求出质点的位移坐标，求力做功可以利用向量数量积运算.,【解析】1.如图， 表示水流速度， 表示船向垂直于对岸行驶的速度， 表示船实际速度，AO
12、C=30，| |=5km/h.因为四边形OACB为矩形，所以水流速度为5 km/h，船实际速度为10 km/h.答案：5 km/h 10 km/h,2.(1)s= =(7，0)-(20，15)=(-13，-15)，从而W1=F1s=(3，4)(-13，-15)=3(-13)+4(-15)=-99(J)，W2=F2s=(6，-5)(-13，-15)=6(-13)+(-5)(-15)=-3(J).(2)W=(F1+F2)s=F1s+F2s=W1+W2=-102(J).,【延伸探究】典例1中若水速为5km/h，船的实际速度为5km/h，且与水速所成的角为135，此时的船速大小应为多少？,【解析】如图
13、，建立直角坐标系，则A(5，0)，由| |=5得所以则 则|v船|=AB=故船速的大小为,【方法技巧】用向量解决物理中相关问题的步骤(1)转化：把物理问题转化成数学问题.(2)建模：建立以向量为主体的数学模型.(3)求解：求出数学模型的相关解.(4)回归：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.,【变式训练】一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成120角，且F1，F2的大小分别为1和2，求F1与F3所成的角.【解题指南】先根据三个力的合力F1+F2+F3=0，然后计算F3的大小，最后求角.,【解析】由题意知F1+F2+F3=0，
14、所以F3=-(F1+F2).如图，在平行四边形OACB中，| |=1，| |=2，OAC=60，所以所以所以AOC=90，即 所以F1F3，即F1与F3所成的角为90.,【补偿训练】已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数=0.02的水平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g=10m/s2),【解析】如图所示，设木块的位移为s，则WF=Fs=|F|s|cos30=5020 =500 (J).将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30=50 =25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|=|(
15、G-F1)|=0.02(80-25)=1.1(N)，因此Wf=fs=|f|s|cos180=1.120(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别为500 J和-22J.,易错案例 向量在物理中的应用【典例】(2015大庆高一检测)两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90时，合力大小为20N，当它们的夹角为120时，合力大小为( )A.10 NB.10 NC.20 ND.20 N,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是对力的向量表示的意义及平行四边形法则理解错误导致错解.,【自我矫正】选B.如图1，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力.由题意，易知|F|= |F1|，|F|=20N，所以|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为120时，如图2，以F1，F2为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此时|F合|=|F1|=10 N.,【防范措施】向量在物理中应用的关注点(1)将物理问题转化为数学的向量问题，注意相关概念的几何意义，合理建立数学模型，解决相关物理现象.(2)要明确向量方法研究物理问题的相关知识，注意物理量之间的关系.,
