1、2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,【知识提炼】1.平面向量数量积的定义,|a|b|cos,ab,ab=|a|b|cos,0,2.向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：b在a的方向上的投影为_；a在b的方向上的投影为_.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与_的乘积.,|b|cos,|a|cos,b在a的方向上,的投影|b|cos,3.向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，(1)ab_.(2)当ab时，ab=(3)aa=_或_.(4)cos=_.(5)|ab|_|a|b|.,_，当a，b同向时，_，当a，b反向时.,ab=0,|
2、a|b|,-a|b|,|a|2,4.向量数量积的运算律(1)ab=_(交换律).(2)(a)b=_=_(结合律).(3)(a+b)c=_(分配律).,ba,(ab),a(b),ac+bc,【即时小测】1.思考下列问题.(1)两个向量的数量积仍然是向量吗？提示：不是.两个向量的数量积是数量.(2)设a与b的夹角为，cos0ab0对吗？提示：正确.因为cos= 0，故ab0.,2.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角为45，则mn=()A.12B.12C.-12D.-12【解析】选B.mn=|m|n|cos 45=46cos 45=24 =12 .,3.已知|a|=4，e为单位向量，它们的夹角为
3、 ，则a在e方向上的投影是_；e在a方向上的投影是_.【解析】a在e方向上的投影为|a|cos = e在a方向上的投影为|e|cos = 答案：-2-,【知识探究】知识点1 平面向量的数量积的概念及其几何意义观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：向量的数量积是数量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素是什么？问题2：向量数量积ab中“”能否省去？,【总结提升】对数量积概念的两点说明(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角.(2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成ab，其中“”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，
4、不可省略.,知识点2 平面向量数量积的几何意义观察图形，回答下列问题：问题1：a在b的方向上的投影与b在a的方向上的投影相同吗？问题2：向量b在向量a上的投影是数量，还是向量？,【总结提升】理解数量积的几何意义要关注的三点(1)ab等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积.其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的.(2)b在a方向上的投影为|b|cos(是a与b的夹角)，也可以写成 .(3)投影是一个数量，不是向量，其值可正，可负，也可为零.,【题型探究】类型一 向量数量积的运算【典例】1.已知a与b的夹角为=150，且|a|=3，|b|=4.则(
5、1)ab_.(2)(a-b)2_.(3)(a+b)(a-2b)=_.2.设正三角形的边长为 ， 求ab+bc+ca.,【解题探究】1.典例1中求数量积问题的关键是什么？提示：求数量积的关键是确定向量的模及向量的夹角.2.典例2中a与b，b与c，c与a的夹角为多少？提示：a与b，b与c，c与a的夹角均为120.,【解析】1.(1)ab=|a|b|cos 150=-6 .(2)(a-b)2=|a|2-2ab+|b|2=25+12 .(3)(a+b)(a-2b)=a2-ab-2b2=9+6 -32=-23+6 .答案：(1)-6 (2)25+12 (3)-23+62.因为三角形为等边三角形，所以|a
6、|=|b|=|c|= ，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120.ab+bc+ca= cos 1203=- .,【方法技巧】向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.,【变式训练】(2015山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，ABC=60，则 =( )【解析】选D.由菱形ABCD的边长为a，ABC=60得BCD=120，ABD=30，在BCD中，由余弦定理得BD= a，所以,【补偿训练】已知|a|=4，|b|=5，当(1)ab，(2)ab
7、，(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积【解题指南】ab时其夹角为0或180，ab时其夹角为90，将两向量的模及夹角代入数量积公式计算即可,【解析】(1)因为ab，若a与b同向，则=0，所以ab=|a|b|cos 0=45=20；若a与b反向，则=180，所以ab=|a|b|cos 180=45(-1)=-20.(2)当ab时，=90，所以ab=|a|b|cos 90=0.(3)当a与b夹角为60时，ab=|a|b|cos 60=45 =10.,类型二 与向量模有关的问题【典例】1.已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为 ，则|a+b|=_，|a-b|=_.2.(2015福州高一
8、检测)已知向量a与b夹角为45，且|a|=1，|2a+b|= ，则|b|=_.,【解题探究】1.典例1中，要求|a+b|和|a-b|应先求什么？提示：先分别求|a+b|2、|a-b|2，将模的计算转化为数量积的问题2.典例2中条件|2a+b|= ，如何变形可以将a与b的夹角、|a|和|b|联系起来.提示：将|2a+b|= 两边平方可得(2a+b)2=10，展开后可以将a与b的夹角、|a|和|b|联系起来.,【解析】1.因为a2=|a|2=25，b2=|b|2=25，ab=|a|b|cos =55cos所以|a+b|= 答案：,2.因为|2a+b|= ，所以(2a+b)2=10，所以4a2+4a
9、b+b2=10，又因为向量a与b的夹角为45且|a|=1，所以4|a|2+4|a|b|cos 45+|b|2=10，故412+41|b| +|b|2=10，整理得|b|2+2 |b|-6=0，解得|b|= 或|b|=-3 (舍去).答案：,【延伸探究】1.(变换条件)若把典例1条件“a与b的夹角为 ”改变为“a与b的夹角为 ”，则结果如何？【解析】方法一：因为a2=|a|2=25，b2=|b|2=25，ab=0，所以方法二：若a与b的夹角为 ，所以以a与b为邻边的平行四边形为正方形.所以|a+b|=|a-b|=,2.(改变问法)典例1在条件不变的情况下，求 的值？【解析】,【方法技巧】求向量的
10、模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方.(2)aa=a2=|a|2或|a|= ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2=a22ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2等.,【补偿训练】已知x=1是方程x2+|a|x+ab=0的根，且a2=4，a与b的夹角为120.求：(1)向量b的模.(2)向量b的模.,【解析】(1)因为a2=4，所以|a|2=4，即|a|=2.把x=1代入方程x2+|a|x+ab=0，得1+|a|+ab=0，所以ab=-3.所以ab=|a|
11、b|cos.=2|b|cos 120=-3，所以|b|=3.(2)由(1)知|b|=3，|b|=|b|=3|.,类型三 两个向量夹角和垂直问题【典例】1.已知|a|=1，|b|=4，(a-b)(a+2b)=-29，则a与b的夹角=_.2.已知非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角.,【解题探究】1.典例1中，若求a与b的夹角，还需要什么？提示：需要利用(a-b)(a+2b)=-29，求出ab.2.典例2中，a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直能得出哪些结论？提示：可以得出,【解析】1.因为(a-b)(a+2b)=|a|
12、2+ab-2|b|2=1+ab-32=-31+ab，所以-31+ab=-29，所以ab=2，所以cos= 又因为0，所以= .答案：,2.由已知条件得即-得23b2-46ab=0，所以2ab=b2，代入得7a2+8b2-15b2=0，整理得a2=b2.所以|a|=|b|，所以cos= 因为0，所以= .,【延伸探究】将典例1中条件改为|a|=1，|b|=4，a与b的夹角为120，且a+kb与a+2b互相垂直，求k的值.【解析】由a+kb与a+2b垂直，则(a+kb)(a+2b)=0，即a2+2kb2+(k+2)ab=0，由题意得1+32k-2(k+2)=0，解得k= .,【方法技巧】求向量a与
13、b的夹角的思路(1)求向量夹角的的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos= ，最后借助0，求出的值.(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos的值.,【变式训练】(2015重庆高考)若非零向量a，b满足 且(a-b)(3a+2b)，则a与b的夹角为( )【解题指南】解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计算，然后求出夹角.,【解析】选A.设a与b的夹角为， 因为(a-b)(3a+2b)，所以(a-b)(3a+2b)=3|a|2-2|b|2-ab解得cos = ，因为0，所以= .,【补偿训练】设n和m是两个单位向量，其夹
14、角是60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角,【解析】由|m|=1，|n|=1，其夹角为60，得mn= .因为所以ab=(2m+n)(2n-3m)=mn-6m2+2n2=- ，设a，b的夹角为，则cos =因为0180.所以a，b的夹角为120.,易错案例 数量积的运算【典例】(2015南昌高一检测)在ABC中，已知A=120，AB=AC=1，则,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：对向量夹角的概念不明确，求错夹角导致数量积运算错误.,【自我矫正】过点A作ADBC，垂足为D.因为AB=AC=1，所以ABC=BCA=30，BC=2BD=2ABcosB=21 .答案：,【防范措施】向量数量积运算的两个关注点(1)正确理解向量夹角的概念：在以平面图形为背景的数量积问题中，关键是求向量夹角，此时要注意让两个向量共始点才能找准向量的夹角，如本例中 的夹角是角B的补角而不是角B.(2)巧用数量积的运算简化运算：数量积的运算中，逆用和巧用运算律可以凑出满足向量加法(减法)的三角形法则，从而简化运算.,
