1、2.3.4平面向量共线的坐标表示,【自主预习】主题:向量共线的坐标表示1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量共线定理如何用a,b的坐标表示呢?提示:由于a=b,故(x1,y1)=(x2,y2),即,2.通过 你可得到什么结论?用文字语言描述:若两非零向量共线,则相应坐标成比例,即交叉坐标乘积相等.向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a,b共线_.,x1y2-x2y1=0,【深度思考】结合教材P98例7你认为利用坐标应怎样判断三点共线?第一步:_.第二步:_.第三步:_.,构造两个共点的向量,利用共线向量定理abx1y2-x2y1=0,证明所,构
2、造的两向量共线,写出判断结论,【预习小测】1.下列各组的两个向量共线的是()A.a1=(-2,3),b1=(4,6)B.a2=(1,-2),b2=(7,14)C.a3=(2,3),b3=(3,2)D.a4=(-3,2),b4=(6,-4),【解析】选D.因为 所以a4b4.,2.已知a=(-1,2),b=(2,y),若ab,则y的值是()A.1B.-1C.4D.-4【解析】选D.因为ab,所以(-1)y-22=0,所以y=-4.,3.若向量a=(1,2),b=(2,3),则与a+b共线的向量可以是()A.(2,1)B.(-1,2)C.(6,10)D.(-6,10)【解析】选C.因为a+b=(1
3、,2)+(2,3)=(3,5),310-56=0,所以(6,10)与a+b是共线的向量.,4.已知向量a=(-2,3),ba,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为.,【解析】由ba,可设b=a=(-2,3).设B(x,y),则 =(x-1,y-2).由 得 而B在坐标轴上,所以1-2=0或3+2=0,故 答案:,【备选训练】已知求证A,B,C三点共线.(仿照教材P98例7的解析过程)【证明】因为 =(4,8), =(2,4),故 即 共线,又因为 有公共点B,所以A,B,C三点共线.,【互动探究】1.对于两个非零平行向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何根据向
4、量的坐标判断两个向量的方向是相同的还是相反的?提示:根据向量的坐标,由(x1,y1)=(x2,y2),当0时,两向量的方向相同;当0,则方向相同,反之,则方向相反.,【解析】因为 =(-2,3), =(4,-6),所以 故 共线且方向相反.,【规律总结】判断向量共线的三个步骤,【巩固训练】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x,使两向量 共线.(2)当两向量 共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?,【解析】(1) 因为 所以x2-4=0,即x=2.所以当x=2时,(2)当x=-2时, 所以 此时A,B,C三点共线,所以,当x=-2时,A,B,
5、C,D四点在同一条直线上.当x=2时,A,B,C,D四点不共线.,类型三:向量共线在几何中的应用【典例3】如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的坐标.,【解题指南】设出P点的坐标(x,y),利用 共线, 共线列出关于x,y的方程组即可.,【解析】设P(x,y),则因为 共线, 共线,所以 故P(6,4).,【规律总结】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤(1)表示:首先分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化.(2)列式:结合题目所给的条件,利用平面向量关系的坐标公式列出有关变量的方程(组).,(3)求解:通过解方程(组)求出有关变量.(4)转化:转化到原来的几何问题中.,【巩固训练】如图所示,已知AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3), AD与BC相交于点M,求点M的坐标.,【解析】因为 所以C .因为 所以D .设M(x,y),则 =(x,y-5),因为 所以- x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.又 因为 所以 即7x-16y=-20.联立解得x= ,y=2,故点M的坐标为,
