1、2.2.2向量减法运算及其几何意义,【自主预习】主题:向量减法运算及几何意义1.实数a的相反数是-a,-a的相反数是a,0的相反数是0,若把实数a换成向量a,结论还成立吗?提示:成立.向量a的相反向量是-a,-a的相反向量是a,0的相反向量是0.,2.我们知道,在数的运算中,减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理解向量的减法呢?提示:向量的减法有类似的法则,即a-b可理解为向量a加上向量b的相反向量.,3.由于a-b=a+(-b).因此要作出a与b的差向量a-b,可以转化为作a与-b的和向量.已知向量a,b如图所示,你能利用平行四边形法则作出差向量a-b吗?,提
2、示:利用平行四边形法则.在平面内任取一点O,作 作 为邻边作平行四边形OAEC,则,通过以上探究,总结向量减法的概念及几何意义1.向量的减法:相反向量:与a长度_,方向_的向量,记作-a.,相等,相反,相反向量的性质: 向量减法的定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_.,-(-a)=aa+(-a)=(-a)+a=0若a与b是相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0,相反向量,2.向量减法的几何意义:用文字语言描述:在平面内任取一点O,作 即a-b可以表示为从向量b的_指向向量a的_的向量.用图形语言描述:,终点,终点,【深度思考】结合教材P86例3你认为应怎样求作两
3、向量a,b的差向量?第一步:_;第二步:_.,在平面内任取一点O，作,连接向量 的终点，则 即为a-b,【预习小测】1.在平行四边形ABCD中, 等于()【解析】选A.,2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(),【解析】选C.因为 所以 A正确;因为 所以B正确;因为 所以C错误;因为 所以 所以 D正确.,3.在平行四边形ABCD中,向量 的相反向量为_.【解析】在平行四边形ABCD中,向量 与向量 互为相反向量.答案:,4.在平行四边形ABCD中, =_.【解析】原式= =0+0=0.答案:0,5. =_.【解析】因为 答案:,【备选训练】如图,在四边形ABCD中,设 试用a,b,
4、c表示 (仿照教材P86例4的解析过程)【解析】,【互动探究】1.移项法则对向量等式适用吗?即若a-c=b-d,则a+d=c+b成立吗?提示:成立,移项法则对向量等式适用.,2.若|a|=|b|,则a=b或a=-b吗?提示:若|a|=|b|,但两向量不一定共线,故不一定有a=b或a=-b成立.3.作两个向量的差的前提是什么?提示:将两个向量移到共同的起点.,【拓展延伸】非零向量的差的三角不等式(1)当a,b不共线时,根据三角形边长的不等关系知|a|-|b|b|,则a-b与a,b同向,且|a-b|=|a|-|b|;若|a|b|,则a-b与a,b反向,且|a-b|=|b|-|a|.,(3)当a,b
5、共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|a-b|=|a|+|b|.综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:|a|-|b|a-b|a|+|b|.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:向量减法运算的常用方法,【题型探究】类型一:向量的减法及其几何意义【典例1】(1)化简 (2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.,【解题指南】(1)可能通过相反向量,把向量减法运算转化为加法运算也可直接利用向量减法的三角形法则.(2)在平面内任取一点O,先利用平行四边形法则作出a+b,然后再用向量减法的三角形法则作a+b-c.,【解析】(1),(2)方法一:如图1所示,在平面内任取
6、一点O,作,方法二:如图2所示,在平面内任取一点O,作,【规律总结】求作两个向量的差向量的两种思路(1)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.,(2)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.,【巩固训练】(1)下列各式结果是 的是(),【解析】选B.,(2)如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.,【解析】作向量 则向量a-b= 再作向量 =c,则向量 =a-b-c.,类型二:用已知向量表示其他向量【典例2】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且 试用向量a,b,
7、c,表示向量,【解题指南】解答本题要注意 及向量加法减法几何意义的应用.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,【延伸探究】1.本例条件不变,试用向量a,b,c表示 【解析】,2.本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?,【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,【规律总结】1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键:一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.,(2)三点注意:注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系;注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;注意在封闭图形中利用多边形法则.,2.用已知向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置.(2)寻找相应的平行四边形或三角形.(3)运用法则找关系,化简得结果.,【补偿训练】设O是ABC内一点,且若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示,【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形,
