1、第二章圆锥曲线与方程,双曲线的简单几何性质,2.2.2,让我们一起研究：,标准方程为: 的双曲线的性质。,F2,F1,O,A1,A2,x,y,1、范围,横坐标的范围：,从而: x -a或 x a,由式子 知,x -a或 x a,所以,2、对称性,F2,F1,O,x,y,双曲线关于y轴对称。,F2,F1,O,x,y,双曲线关于x轴对称。,A2,A1,F2,F1,O,x,y,双曲线关于原点对称。,F2,F1,O,x,y,2、对称性,双曲线关于y轴、x轴、原点对称。,为什么？,3、顶点,O,B2,B1,A1,A2,x,y,可得x= a,从而：A1(-a,0),A2(a,0),也把B1(0, -b),
2、B2(0, b)画在y轴上,在 中令y=0，,为双曲线的顶点,3、顶点,O,B2,B1,A1,A2,x,y,线段A1A2叫双曲线的实轴;,线段B1B2叫双曲线的虚轴。,长为2a,长为2b,4、渐近线,O,B2,B1,A1,A2,x,y,红色虚框的两条对角线，为双曲线的 渐近线,a,b,其方程为,一般结论：,双曲线 的渐近线为,练习1、计算下列双曲线的渐近线：,你能发现什么规律吗？,在方程 中，如果a=b,那么，虚线方框是正方形，并且实轴等于虚轴。,O,B2,B1,A1,A2,y,实轴和虚轴等长的双曲线叫 等轴双曲线。,5、离心率,上面双曲线的形状有什么变化？,怎样刻画它们的扁平程度？,O,A1
3、,A2,y,5、离心率,双曲线的焦距与长轴长的比 称为双曲线的离心率，用e表示，即,O,A1,A2,y,e变大，双曲线的形状会怎样变化?,关于x轴、y轴、原点对称,(-a,0) , (a,0),(0,-a) , (0,a),例1、求双曲线 的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。,解：把方程化为标准方程：,可得:实半轴长a=4,虚半轴长b=3,半焦距c=,焦点坐标是(0,-5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,练习1、求下面双曲线的范围，顶点坐标，焦点坐标，实轴长，虚轴长，焦距，离心率，渐近线方程。 9x2-y2=81,焦点坐标是,顶点坐标是(-3,0) , (3,0) , (
4、0,-9) , (0,9),实轴长2a=6，,虚轴长2b=18，,焦距2c=,离心率e=,渐近线方程:,练习2：求适合下列条件的双曲线的 标准方程。(1)实轴在x轴上,离心率e= ,b=2,(3)过点(-1,3)和双曲线 有共同的渐近线。,(2)过点(3,4)且虚轴长为实轴长的2倍,(1)实轴在x轴上,离心率e= ,b=2,(2)过点(3,4)且虚轴长为实轴长的2倍,或,(3)过点(-1,3)和双曲线 有共同的渐近线。,例2、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程
5、(精确到1m).,B,12,B,A,C,13,A,C,25,解：如图，建立直角坐 标系xoy，使小圆的 直径AA在x轴上， 圆心与原点重合，,设双曲线的方程为,令C的坐标为(13,y), 则B的坐标为(25,y-55),将B、C坐标代入方程得,B,12,B,A,C,13,A,C,25,由方程，得,(负值舍去),B,12,B,A,C,13,A,C,25,代入方程得，,化简得,用计算器解得b25,所以，所求双曲线的方程为,例3、点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l: 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。,解：设d是点M到直线l的距离， 根据题意，,M,F,H,d,l,所求轨迹就是集合,M,F,H,d,l,由此得,将上式两边平方，并化简得,9x2-16y2=144,它是一条双曲线。,即：,小结,
