1、第2课时习题课函数概念的综合应用,【知识提炼】相等函数两个函数相等的条件:定义域_;对应关系_.,相同,完全一致,【即时小测】1.思考:定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗?提示:不一定.判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应关系是否相同,定义域和值域都相同,但对应关系不同,两个函数也不是同一个函数.,2.与y=|x|相等的函数是()【解析】选B.对A,定义域不同;对C,定义域不同;对D,值域不同.,3.写出与函数y=1(x0)相等的一个函数为.(写出一个即可)【解析】与该函数相等的函数有很多,如函数y= .答案:y= (不唯一),4.函数y= -1的值域是.【解析】利用我们熟
2、知的 的取值范围求.因为 0,所以 -1-1.所以函数y= -1的值域为-1,+).答案:-1,+),【知识探究】知识点 相等函数观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:判断两个函数是相等关系的关键是什么?问题2:两个函数相等与表示自变量的字母有关吗?,【总结提升】对函数相等的两点说明(1)函数值域是由函数的定义域和对应关系决定的,因此判断两个函数相等,关键是看定义域和对应关系即可.(2)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用不同的字母表示自变量是无关紧要的.,【题型探究】类型一相等函数【典例】1.下列各对函数中,是相等函数的序号是.f(x)=x+1与g(x)=x+x0;f(x)= 与g(x
3、)=|2x+1|;f(n)=2n+1(nZ)与g(n)=2n-1(nZ);f(x)=3x+2与g(t)=3t+2.,2.试判断函数y= 与函数y= 是否相等,并说明理由.,【解题探究】1.典例1中x0及 化简后各等于什么?提示:x0化简后的结果为1,但隐含x0这一要求; 化简后为|2x+1|.,2.典例2中两个函数的定义域是多少?提示:由题意可求函数y= 的定义域为x|x1,函数y= 的定义域为x|x1或x-1.,【解析】1.中f(x)=x+1,xR,而y=x+x0中x0,它们的定义域不相同,所以不是相等函数.中两个函数的定义域都是R,并且f(x)= =|2x+1|,所以它们是相等函数.中f(
4、n)=2n+1(nZ)与g(n)=2n-1(nZ)的定义域都是Z,值域也相同(都是奇数集),但对应关系不同,所以不是相等函数.,中f(x)=3x+2与g(t)=3t+2的定义域都是R,尽管它们表示自变量的字母不同,但是,对应关系都是“乘3加2”,是相同的对应关系,所以是相等函数.答案:,2.不相等.对于函数y= ,由 解得x1,故定义域为x|x1.对于函数y= ,由(x+1)(x-1)0解得x1或x-1,故定义域为x|x1或x-1.显然两个函数定义域不同,故不是相等函数.,【方法技巧】判断相等函数的流程,【变式训练】判断下列函数是否是相等函数.(1)f(x)=2x+1(xR),g(x)=2x+
5、1(xN+);(2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2;(3)f(x)=x2,g(x)=x .,【解析】(1)对应关系相同,但定义域不同,因而不是相等函数.(2)定义域、值域均相同,但对应关系不同,因而不是相等函数.(3)定义域相同,但对应关系不同,因而不是相等函数.,类型二求函数值域问题【典例】求下列函数的值域:(1)y=2x+1.(2)y=x2-4x+6,x1,5).(3)y=(4)y=x+ .,【解题探究】1.典例(1)的定义域是什么?提示:定义域为R.2.典例(2)中如何求二次函数有关的值域?提示:将二次函数式配方找对称轴,结合图象求解.,3.典例(3)中函数y= 的分子和分母都含
6、有自变量x,是否可以将其变形为只有分母含有自变量x的形式?提示:可以利用分离常数的办法进行变形,变形方法如下:,4.典例(4)能否转化为用二次函数求值域问题?提示:可以通过换元法将问题转化为二次函数求值域问题.,【解析】(1)因为xR,所以2x+1R,即函数的值域为R.(2)配方:y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因为x1,5),由图所示.所以所求函数的值域为2,11).,(3)方法一:借助反比例函数的特征求.显然 可取0以外的一切实数,即所求函数的值域为y|y3.方法二:把y= 看成关于x的方程,变形得(y-3)x+(y+1)=0,该方程在原函数定义域x|x-1内有解的条件是 解得y3,
7、即所求函数的值域为y|y3.,(4)设u= (x0),则x=u2(u0),y=u2+u= (u0).因为由u0,可知 所以y0.所以函数y=x+ 的值域为0,+).,【延伸探究】1.(变换条件)典例(1)中将函数定义域改为1,2,3,4,5,则其值域是什么?【解析】因为x1,2,3,4,5,所以y3,5,7,9,11.所以所求函数的值域为3,5,7,9,11.,2.(变换条件)典例(4)中将函数改为:y=x+ ,则其值域是什么?【解析】令u= ,则u0,x= ,所以所以函数的值域为,【方法技巧】求函数值域的原则及常用方法(1)原则:确定相应的定义域;根据函数的具体形式及运算确定其值域.(2)常
8、用方法:观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到.配方法:是求“二次函数”类值域的基本方法.换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+ (其中a,b,c,d为常数,且ac0)型的函数常用换元法.,分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.,【补偿训练】求下列函数的值域.【解题指南】题(1)可采用分离常数法求解,题(2)可采用换元法求解.,【解析】(1)因为所以函数的值域为y|yR且y2.(2)设v= ,则v0,且x= .所以y= +v= (v2+2v-1)= (v+1)2-
9、1.因为v0,所以 (v+1)2-1-1+ =- .所以函数的值域为,类型三抽象函数的定义域问题【典例】若函数f(x)的定义域为2,3,求函数f(x-1)的定义域.【解题探究】函数f(x-1)中的自变量是什么?提示:函数f(x-1)中的自变量是“x”而非“x-1”.【解析】若函数f(x)的定义域为2,3,则函数f(x-1)中,2x-13,解得3x4,即函数f(x-1)的定义域是3,4.,【延伸探究】1.(变换条件)若将本例条件改为“若函数f(x-1)的定义域为2,3”,则f(x)的定义域是什么?【解析】若函数f(x-1)的定义域为2,3,即2x3,有1x-12,则f(x)的定义域为1,2.,2
10、.(改变问法)若本例条件不变,试求 的定义域.【解析】因为2x3,所以2x+ 3且2x- 3,解得:x= ,故所求函数的定义域为,【方法技巧】两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域,求f(g(x)的定义域:若f(x)的定义域为a,b,则f(g(x)中ag(x)b,从中解得x的取值集合即为f(g(x)的定义域.(2)已知f(g(x)的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x)的定义域为a,b,即axb,求得g(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定义域.,【补偿训练】1.函数y=f(2x-1)的定义域为0,1,则y=f(x)的定义域为()A.-1,1 B. C.0,1 D.
11、-1,0【解析】选A.因为函数y=f(2x-1)的定义域为0,1,所以0x1,则02x2,即-12x-11,即函数y=f(x)的定义域为-1,1.,2.(2015开封高一检测)若函数f(x)的定义域是0,4,则函数g(x)= 的定义域是()A.0,2 B.(0,2)C.(0,2 D.0,2)【解析】选C.因为f(x)的定义域为0,4,所以对g(x),02x4,但x0故x(0,2.,易错案例 相等函数的判断【典例】下列各组函数中是相等函数的是( )A.y=x+1与y= B.y=x2+1与s=t2+1C.y=2x与y=2x(x0) D.y=(x+1)2与y=x2,【失误案例】,【错解分析】分析解题
12、过程,想一想错在哪里?提示:错误的根本原因是忽视函数相等的两个要素及对函数概念理解不到位.选项A忽视了函数关系式化简后函数的定义域,而选项B中虽然自变量不同,但表示同一个函数.,【自我矫正】选B.对于选项A,前者定义域为R,后者定义域为x|x1,不是相等函数;对于选项B,虽然变量不同,但定义域与对应关系相同,是相等函数;对于选项C,因为定义域不同,所以不是相等函数;对于选项D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数.,【防范措施】1.关注相等函数的判断方法判断两个函数是相等函数,首先应看定义域是否相同,若不相同,则不是相等函数;若相同,还必须判断对应关系是否相同,若相同则是相等函数,否则不是.,2.判断相等函数的注意点(1)对函数式的化简要等价化简,否则就出现本题中误选A的情况.(2)对函数的本质应理解到位,函数中自变量可以用不同的字母表示,若对应关系是一样的,则其值域也一样.,
